Как найти уравнение касательной

Здесь необходимо отсеять неверные определения касательной.

Толковый словарь Ушакова; Касательная - прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой.

Определение верно для окружности рис.1, в общем случае неверно рис.2.

Академический словарь, за ним повторяет толковый словарь Кузнецова, Ефремовой и т.д.: Касательная - Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её.

Определение  в общем случае неверно рис.3.

Определение: Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Формула уравнения касательной

Если существует конечная производная f'(x₀) то уравнение касательной к графику функции y=f(x) выражается следующим уравнением:

Особый случай когда   f'(x₀) бесконечна, разберем отдельно.

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции y=x² в точке 2.

Алгоритм решения следующий:

1. Находим производную функции:

2. Находим значение производной в точке x₀=2:

3. Находим значение функции в точке x₀=2:

4. Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной:

5. Получаем уравнение касательной в точке x₀=2:

Получить уравнение касательной онлайн, а также графическое решение, можно с помощью данного калькулятора.