уравнение касательной

Тема: Как найти уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ имеет вид

 

 

 

 

в точке x₀=2.
 

1) Находим производную функции
 

Получаем уравнение касательной

 

 

 

Разберем более сложный случай, когда касательная должна проходить через точку не принадлежащую кривой.
Пример 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как  f(– 3)=-9+12+2=5

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0 ^ a₁ = – 4, a₂ = – 2.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид   y = 4x + 18.
 Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид  y = 6.