Тема: Как найти уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ имеет вид

в точке x₀=2.
 

1) Находим производную функции
 

 

2) Вычисляем значение производной в точке x₀=2
 

 

3) Вычисляем значение функции в точке x₀=2
 

 

4)  Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной
 

Получаем уравнение касательной

 

Для наглядности рекомендуем построить график самой функции и касательной на координатной плоскости с помощью калькулятора. Для этого вводим в калькулятор функцию в виде 3x^2-5x+1 и касательную в виде 7x-11, задаем интервал построения графиков от x1=-2 до x2=4 (для данного примера функции вводить не требуется, они уже введены автором), нажимаем Ok, получаем ответ.
 

Разберем более сложный случай, когда касательная должна проходить через точку не принадлежащую кривой.
Пример 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как  f(– 3)=-9+12+2=5

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0 ^ a₁ = – 4, a₂ = – 2.
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид   y = 4x + 18.
 Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид  y = 6.