Пример. При каких значениях система
будет совместной?
Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы (слева от вертикальной черты находится матрица системы
):

и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от первой строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:

Третью строку складываем с первой:

и меняем первую и вторую строки матрицы местами

Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что ,
. Таким образом, при
система совместна, а при
- несовместна.