Правило умножения

Одним из основных правил комбинаторики применяемых для решения комбинаторных задач является правило умножения.

Правило умножения  (принцип умножения, правило "и"): 

пусть имеется две группы элементов,

если  элемент из первой группы можно выбрать k₁ способами,

после чего элемент из второй группы – k₂ способами,

то общее число комбинаций N из двух элементов будет

N = k₁k₂

Пример 1. В группе 14 юношей и 10 девушек. Сколько пар можно составить, чтобы на вечеринке все ребята перетанцевали со всеми девушками?

Решение: Очевидно, число групп  равно двум, (т.к. составляем пары)

k₁=14 ( т.к. для выбора  элемента первой группы имеется 14 вариантов),

k₂=10 (т.к. для выбора элемента второй группы имеется 10 вариантов ), 

Согласно правила умножения, получаем общее количество различных вариантов:  

N = k₁k₂ = 14*10 = 140 пар.

Замечание. Если в качестве первого элемента взять девушку, то ответ не изменится: от перестановки множителей произведение не меняется!

Покажем, что правило умножения допускает обобщение на случай n групп элементов:

N = k₁k₂···k_n

И частный случай, когда  k₁ = k₂ =···= k_n

N = kⁿ

Пример 2. На следующий день после вечеринки та же группа в полном составе (24 человека) пришла на рейтинговую контрольную работу. По ней выставляются не оценки, а распределяются места по рейтингу: 1-е, 2-е и т. д. до последнего. Сколько различных вариантов
первых трёх мест существует?

Решение: Определяем число групп - очевидно число групп равно трем, т.к. число призовых мест равно трем.

k₁=24 ( т.к. для выбора лучшей работы имеется 24 варианта),

k₂=23 (т.к. для выбора второй работы имеется 23 варианта ),

k₃=22 (т.к. для выбора третьей работы имеется 22 варианта).

Согласно правила умножения, получаем общее количество различных вариантов:  

N = k₁k₂k₃= 24*23*22 = 12144

Пример 3. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

Решение: Определяем число групп - очевидно число групп равно трем, т.к. числа трехзначные.

k₁=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6),

k₂=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6),

k₃=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).

Согласно правила умножения, получаем ответ:   N = k₁k₂k₃= 6*7*4 = 168

Задачи для самостоятельного решения

1.1⁰.Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

1.2⁰.При составлении одного варианта письменной контрольной работы по математике преподаватель располагает 4 задачами по геометрии, 8 – по алгебре и 3 – по тригонометрии. Сколькими способами можно составить этот вариант, если в него должно войти по одной задаче из перечисленных разделов?

1.3⁰.Из двух полуфинальных групп, каждая их которых содержит по 6 команд, в финал выходит по одной команде. Сколько может быть различных вариантов участников финального матча?

1.4⁰.В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

1.5⁰.В книге из 20 страниц на каких-либо трех страницах надо поместить по одно иллюстрации. Сколькими способами это можно сделать?

1.6.В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

1.7.Имеется 9 белых, 12 красных и 11 синих шаров. Скольким способами можно разложить эти шары по двум урнам так, чтобы каждая урна содержала не менее четырех шаров каждого цвета?

P.S. Правило умножения не случайно называют основной формулой комбинаторики. С помощью правила умножения и правила сложения можно решить любую комбинаторную задачу. Для решения более сложных задач, сначала с помощью данных правил получают формулы комбинаторики, потом с помощью формул решают задачи.