Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Рассмотрим примеры вычисления площади фигуры, заданной в полярных координатах кривой  ρ= ρ(φ), с помощью определенного интеграла по формуле

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы 

Решение.

Шаг 1. Выполним рисунок графика функции  с помощью калькулятора построения графиков функций в полярных координатах.

Шаг 2. Из рисунка видно, что угол φ в первой четверти изменяется от 0 до π/2, следовательно границы интегрирования φ₁=0, φ₂=π/2

Шаг 3.  Уравнение кривой , и границы φ₁=0, φ₂=π/2, подставляем в формулу

получаем площадь фигуры:

Замечание. Вычислить  площадь фигуры в полярных координатах можно с помощью калькулятора