Первый замечательный предел - 10 Августа 2015 - Примеры решений задач

Главная » 2015 » Август » 10 » Первый замечательный предел

20:19

Первый замечательный предел

${\color{Blue} \lim_{\alpha \to\ 0} \frac{sin\alpha }{\alpha }=1}$

Следствия первого замечательного предела:

Следствие 1:

${\color{Blue} \lim_{\alpha \to\ 0} \frac{tg\alpha }{\alpha }=1}$

Доказательство:

Следствие 2:

${\color{Blue} \lim_{\alpha \to\ 0} \frac{arcsin\alpha }{\alpha }=1}$

Доказательство: сделаем замену $\alpha =siny$ , тогда $arcsin\alpha =arcsin\left (siny \right )=y$

Следствие 3:

${\color{Blue} \lim_{\alpha \to\ 0} \frac{arctg\alpha }{\alpha }=1}$

Доказательство: сделаем замену $\alpha =tgy$ , тогда $\alpha =arctg\left (tgy \right )=y$

Пример 1. Найти предел

$\lim_{x\to\ 0} \frac{9x}{x}$

Решение.

Пример 2. Найти предел

$\lim_{x\to2} \frac {\sin\left ( \frac{x^2-4}{x+7} \right )}{\frac{x^2-4}{x+7}}$

Решение. Замена $\frac{x^2-4}{x+7}=y, x\rightarrow 2,y\rightarrow 0$

$\lim_{x \to 2} \frac {\sin\left ( \frac{x^2-4}{x+7} \right )}{\frac{x^2-4}{x+7}}= \lim_{y \to 0}\frac{siny}{y}=1$

Пример 3. Найти предел

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin5x}{tg8x}$

Решение.

Категория: Найти предел | Просмотров: 6949 | Добавил: Admin | Теги: найти предел | Рейтинг: 2.5/4