19:43
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
|
Неравенство Чебышева.
Теорема (Неравенство Чебышёва) Пусть Dξ существует. Тогда для любого x > 0 Или в эквивалентной форме См. доказательство. В качестве примера использования неравенства Чебышёва оценим вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, 0,0027. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для вероятности случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии. Пример 1 . Если Решение.. Пример 2. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Решение. а). Обозначим через Воспользуемся неравенством Чебышева:
![]()
подставив в него
![]()
б). События
![]()
Пример 3. Оценить вероятность события Решение. Полагая В действительности для подавляющего большинства встречающихся на практике случайных величин эта вероятность значительно ближе к единице, чем Пример 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 10 до 30 деталей. Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева, определив
![]() В теореме Чебышева (справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин) утверждается, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1, Х2, .., Хn, ... имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. е, если ε — любое положительное число, то В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. если ε —любое положительное число,
Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины. Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако, ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Онлайн сервис решения задач по теории вероятности
|
|
Всего комментариев: 0 | |