Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева - 1 Апреля 2013 - Примеры решений задач

Главная » 2013 » Апрель » 1 » Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева

19:43

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева.

Теорема (Неравенство Чебышёва) Пусть Dξ существует. Тогда для любого x > 0

$P\left ( \left | \xi -E\xi \right |\geq x \right )\leq \frac{D\xi }{x^{2}}$

Или в эквивалентной форме

См. доказательство.

В качестве примера использования неравенства Чебышёва оценим вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, 0,0027.

Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для вероятности случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии.

Пример 1 . Если $D\xi <\infty$ , $x=3\sqrt{D\xi }$ , оценить вероятность

Решение..

$P\left ( \left | \xi -E\xi \right |\geq 3\sqrt{D\xi }\right )\leq\frac{D\xi }{\left\left \left (3\sqrt{D\xi } \right )^{2} \right \right }= \frac{1 }{9}$

$P\left ( \left | \xi -E\xi \right |\geq 3\sqrt{D\xi }\right )\leq \frac{1 }{9}$

Пример 2. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение.

а). Обозначим через число отказавших элементов за время . Тогда [] = np = 100 * 0,03 = 3 и [] = npq = 100 * 0,03 * 0,97 = 2,91

Воспользуемся неравенством Чебышева:

$\begin{displaymath} P\{\left\vert {X - M[X]} \right\vert < \xi \} \ge 1 - {\displaystyle D[X]\over\displaystyle \xi ^2}, \end{displaymath}$

подставив в него [] = 3, [] = 2,91, $\xi$ = 2, получим

$\begin{displaymath} P\{\left\vert {X - 3} \right\vert < 2\} \ge 1 - {\displaystyle 2,91\over\displaystyle 4} \approx 0,27. \end{displaymath}$

б). События $\left\vert {X - 3} \right\vert < 2$ и $\left\vert {X - 3} \right\vert \ge 2$ противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

$\begin{displaymath} P\{\left\vert {X - 3} \right\vert \ge 2\} \le 1 - 0,27 = 0,83. \end{displaymath}$

Пример 3. Оценить вероятность события $\vert X$ - [] $\vert$ < 3 $\sigma$ , где $\sigma$ - среднее квадратичное отклонение случайной величины .

Решение. Полагая $\varepsilon$ = 3 $\sigma$ , получим в правой части неравенства число $1 - {\displaystyle D[X]\over\displaystyle 9\sigma ^2},{\rm т.е. }{\displaystyle {\rm 8}\over\displaystyle {\rm 9}}.$ Таким образом, вероятность события $M[X] - 3\sigma < X < M[X] + 3\sigma$ не меньше, чем ${\displaystyle 8\over\displaystyle 9}.$

В действительности для подавляющего большинства встречающихся на практике случайных величин эта вероятность значительно ближе к единице, чем ${\displaystyle 8\over\displaystyle 9}.$

Пример 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 10 до 30 деталей.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева, определив [] и $\varepsilon$ .

[] = np = 200 $\cdot$ 0,1 = 20 и $\left\vert {X - 20} \right\vert \le \varepsilon ,\varepsilon - 20 \le X \le 20 + \varepsilon ,$ откуда $\varepsilon$ = 10. Следовательно,

$\begin{displaymath} P\left\{ {\left\vert {X - 20} \right\vert \le 10} \right\} \... ...ystyle 200 \cdot 0,1 \cdot 0,9\over\displaystyle 10^2} = 0,82. \end{displaymath}$

В теореме Чебышева (справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин) утверждается, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Теорема Чебышева.

Если последовательность попарно независимых случайных величин X₁, Х₂, .., Х_n, ... имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. е, если ε — любое положительное число, то

$\lim_{n \to \infty }\left ( \left |\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}M\left (X_i \right ) \right |< \varepsilon \right )=1$

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. если ε —любое положительное число,

$\lim_{n \to \infty }\left ( \left |\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-a \right |< \varepsilon \right )=1$

Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако, ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью $\pm$ $\alpha$ ; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Онлайн сервис решения задач по теории вероятности

Категория: Теория вероятности | Просмотров: 20853 | Добавил: Admin | Теги: Теорема Чебышева, закон больших чисел, неравенство Маркова, Неравенство Чебышева | Рейтинг: 5.0/1

Всего комментариев: 0