найти уравнение касательной плоскости - 27 Августа 2013 - Примеры решений задач

Главная » 2013 » Август » 27 » найти уравнение касательной плоскости

17:25

найти уравнение касательной плоскости

Касательная плоскость к поверхности в её точке M_0

(точка касания) есть плоскость, проходящая через M_0

и содержащая в себе все касательные, проведённые в точке M_0

ко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку M_0

.

В случае явного задания поверхности уравнением $z=f\left ( x,y\right )$ , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

$z-z_0=f'_x\left ( x-x_0 \right )+f'_y\left ( y-y_0 \right )$

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z=2x^2+y^2$ в точке $M_0\left ( -1,2,6 \right )$

Решение: Находим частные производные в точке $M_0\left ( -1,2,6 \right )$

Тогда уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид:

z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть 4x - 2y + z + 2 = 0,

Если уравнение поверхности (задано неявно) имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

$F'_x\left ( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( x-x_0 \right )+F'_y( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( y-y_0 \right )+F'_z\left ( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( z-z_0 \right )=0$