Разбор задачи
Условие и материал
Пример. Найти ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований
.
Решение. Вычислим ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Способ основан на использовании следующих утверждений:
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Теорема 2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.
Для этого матрицу А с помощью элементарных преобразований приведем к ступенчатому виду. Найдем сумму второй строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-1), а также сумму третьей строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-3). В результате указанных преобразований получим эквивалентную матрицу
Третью строку полученной матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на (-1), и получим эквивалентную матрицу
Удалим из этой матрицы третью строку и получим ступенчатую эквивалентную матрицу, количество ненулевых строк которой равно двум:
В соответствии с теоремой 1, ранг полученной матрицы равен двум, а значит (теорема 2), rang A =2
Решение. Вычислим ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Способ основан на использовании следующих утверждений:
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Теорема 2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.
Для этого матрицу А с помощью элементарных преобразований приведем к ступенчатому виду. Найдем сумму второй строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-1), а также сумму третьей строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-3). В результате указанных преобразований получим эквивалентную матрицу
Третью строку полученной матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на (-1), и получим эквивалентную матрицу
Удалим из этой матрицы третью строку и получим ступенчатую эквивалентную матрицу, количество ненулевых строк которой равно двум:
В соответствии с теоремой 1, ранг полученной матрицы равен двум, а значит (теорема 2), rang A =2