|
11:47
Математическое ожидание
|
|
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: Пример. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
X -4 6 10 р 0,2 0,3 0,5
Решение : Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности: М (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6. Для вычисления математического ожидания удобно расчеты проводить в Excel (в особенности когда данных много), предлагаем воспользоваться готовым шаблоном (калькулятор для вычисления математического ожидания). Пример для самостоятельного решения (можете применить калькулятор). Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 0,21 0,54 0,61 р 0,1 0,5 0,4 Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М (Х1Х2 ...Хп)=М (X1) М {Х2)*. ..*М (Xn) Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Хг + Х2+...+Хn) = М{Хг)+М(Х2)+…+М(Хn). Задача 189. Найти математическое ожидание случайной вели чины Z, если известны математические ожидания X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; Решение : Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11. 190. Используя свойства мaтематического ожидания, доказать, что: а) М(Х — Y) = M(X)—М (Y); б) математическое ожидание отклонения X—M(Х) равно нулю. 191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8. 192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = —1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi 194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди двух отобранных. 196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X—числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по явится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
М(Х) = nр. Пример. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего про изведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.  207. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:  |
|
|
| Всего комментариев: 0 | |
