Правило суммы. Если объект Х можно выбрать n способами, а объект Y можно выбрать m способами, причём эти способы выбора несовместны, то объект «Х или Y» можно выбрать n+m способами.

Несовместность способов выбора означает, что ни один способ выбора объекта Х не совпадает ни с одним способом выбора объекта Y.

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Напиток – это или сок (объект Х), или минеральная вода (объект Y). Сок можно выбрать 8-ю разными способами, минеральную воду – 5-ю, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект «Х или Y») можно выбрать 8+5=13-ю способами.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект «Х или Y» – «червовая карта или туз»?

Решение. В этом примере правило суммы не работает, так как способы выбора объектов X и Y совместны: один из способов выбора объекта X совпадает с одним из способов выбора объекта Y (выбор червового туза – это и способ выбора объекта X, и способ выбора объекта Y).

Задача решается перебором подходящих карт: червовых карт 9 и ещё 3 туза (один уже учтён). Значит, червовую карту или туз ... Смотреть решение »

Правило произведения: Если объект А может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами и посла каждого такого выбора объект В может быть выбран $m$ способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана $n \cdot m$ способами.

Пример. Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? ► Первую цифру можно выбрать 9-ю способами, вторую – 9-ю способами и т.д., следовательно, всего цифр можно составить $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=9^5$ способами (правило произведения).

 

Правило произведения в общем виде: Обозначим через $N$ число способов, которыми можно заполнить строчку $x_1,x_2 ,...,x_n$, если для выбора элемента $x_j$ существует $n_j$ вариантов $j=1,2,...,k$

Тогда

$$N=n_1\cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$$

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из $n$ элементов заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае $n_1=n,n_2=n-1,...n_k=n-k$

Рассмотрим пример такой ситуации.

 

Задача 1.  Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков? Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

... Смотреть решение »

Формула размещений без повторений

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

Размещениями из $п$ элементов по $m$ в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит $m$ элементов, взятых из числа дан­ных $n$ элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Задача 1. Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.В условии задачи речь идет о расчете числа размещений без повторений из 10 элементов по 3.

Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

$$A_{10}^3=\frac{10!}{(10-3)!}=720$$

Ответ.Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

 

Формула размещений c повторениями

$$A_n^m=n^m$$

Размещение с повторениями из $n$ элементов по $m$ элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до $m$ включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из $n$ элементов поmэлементов мо­жет состоять не только из различных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов. Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

&n ... Смотреть решение »