Уравнение нормали к поверхности

В случае явного задания поверхности уравнением $z=f\left ( x,y\right )$ , уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид:

$\frac{x-x_0}{f'_x\left ( x_0,y_0 \right )}=\frac{y-y_0}{f'_y\left ( x_0,y_0 \right )}=\frac{z-z_0}{1}$

Пример 1. Найти уравнение нормали к поверхности $z=2x^2+y^2$ в точке $M_0\left ( -1,2,6 \right )$

Решение: Находим частные производные в точке $M_0\left ( -1,2,6 \right )$

Тогда уравнение нормали к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид:

$\frac{x+1}{-4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-6}{-1}$

Если уравнение поверхности (задано неявно) имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

$F'_x\left ( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( x-x_0 \right )+F'_y( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( y-y_0 \right )+F'_z\left ( x_0,y_0,z_0 \right )\left ( z-z_0 \right )=0$