как найти площадь фигуры ограниченной линиями заданными параметрически - 11 Августа 2013 - Примеры решений задач

Главная » 2013 » Август » 11 » как найти площадь фигуры ограниченной линиями заданными параметрически

19:54

как найти площадь фигуры ограниченной линиями заданными параметрически

Если кривая задана параметрическими уравнениями

$\left\{\begin{matrix} x=x\left ( t \right )\\ y=y\left ( t \right )\end{matrix}\right.$

то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b]оси Ox, выражается формулой

$S=\int_{t_1}^{t_2}y\left ( t \right )x'\left ( t \right )dt$

Пример. Найти площадь фигуры ограниченной одной аркой циклоиды
x=3(t-sint), y=3(1-cost), 0≤t≤2π и осью Ox.

Решение.

Шаг 1. Выполним построение графика функции заданной параметрически с помощью калькулятора

Вводим функцию и границы параметра, как указано в примере, нажимаем "Ok", получаем построение графика.

Шаг 2. Находим производную x'(t)

x'(t)=(3(t-sint))'=3(1-cost)

Выполнить дифференцирование можно с помощью калькулятора

Шаг 3. По формуле

$S=\int_{t_1}^{t_2}y\left ( t \right )x'\left ( t \right )dt$ , подставляем значения, имеем

$\small S=\int_{0}^{2\pi }3\left ( 1-cost \right )3\left ( t-sint \right )'dt=\int_{0}^{2\pi }9\left( 1-cost \right )^2dt=27\pi$

Ответ: S=27π

Проверить вычисление площади фигуры ограниченной параметрически заданной кривой можно с помощью калькулятора

Замечание: в калькулятор вводим не саму функцию x(t) , а ее производную!

Категория: Площадь фигуры ограниченной кривыми | Просмотров: 39771 | Добавил: Admin | Теги: площадь фигуры ограниченной линиями | Рейтинг: 5.0/2

Всего комментариев: 0