Задача 105.( Гмурман, формула Байеса ) Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь,  которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Решение. Обозначим через А событие—в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.
Можно сделать три предположения (гипотезы):
В₁—детали извлекались из первой партии;
В₂—детали извлекались из второй партии;
В₃—детали извлекались из третьей партии.
Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

 Найдем условную вероятность Р_В1 (А), т. е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому:

 

Найдем условную вероятность Рв₂(A),  т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:

 Найдем условную вероятность Р_B3 (A), т. е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:

 Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна

Онлайн сервис:  решение задач по теории вероятности