Градиент функции что это

Определение. Вектор с координатами называется градиентом функции u=f(x,y,z) и обозначается

С помощью оператора Гамильтона ( или набла-оператора)

можно кратко записать градиент функции:

Градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Модуль градиента  определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u=f(x,y,z).

Как найти градиент

Пример 1. Найти градиент  grad z, модуль градиента |grad z| для функции z=7-5x²-10y² в точке M(-5;7)

Решение. Для функции двух переменных градиент находим по формуле

1) Находим частные производные  (см. калькулятор частных производных)

2) Подставляем в формулу, получаем градиент функции в произвольной точке

Найти градиент функции можно также с помощью калькулятора

3) Подставляем координаты точки M(-5;7), получаем

4) Находим модуль градиента в точке M(-5;7) по формуле:

Вывод: Если движение происходит в направлении градиента функции (50;-140), то получаем скорость максимального изменения функции 148,66 в точке M(-5;7).

Производная по направлению

Если движение будет происходить в других направлениях, то скорость будет меньше. Покажем это на примере.

Пример 2. Найти скорость изменения функции z=7-5x²-10y² в точке  M(-5;7) по направлению вектора l(2;-3).

Решение. Пункты 1),2) и 3) совпадают с решением примера 1.

4) Скорость изменения функции z=7-5x²-10y² в точке  M(-5;7) по направлению вектора l(2;-3) находим по формуле производной по направлению: