По теме
Ключевые слова: исследовать функцию на непрерывность, определение непрерывности, точки разрыва первого и второго рода, односторонние пределы, значение функции в точке, предел функции в точке.
Определение: функция непрерывна в точке x=a, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке x=a, то есть должно существовать значение f(a).
2) Должен существовать общий предел функции
. - это подразумевает существование и равенство односторонних пределов.
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:
Пример 1. Функции исследовать на непрерывность. Построить эскиз графика функции.
Решение.
1) y(0)=0-1= -1 - функция определена, условие выполняется;
2) Односторонние пределы
- конечны и различны, следовательно функция имеет в точке x=0 разрыв первого рода со скачком.
Исследуем функцию на непрерывность в точке x=2:
1) y(2)=4- функция определена, условие выполняется;
2) Односторонние пределы
- конечны и равны, следовательно функция имеет в точке x=2 общий предел
- условие выполняется.
3) предел функции в точке x=2
равен значению данной функции в данной точке, условие выполняется,
следовательно функция в точке x=2 непрерывна.
Строим эскиз графика
