Дилемма заключенного

Пример 1 ( Дилемма заключенного). Двое подозреваемых арестованы после беспрецедентного ограбления банка, названного ограблением тысячилетия, и содержатся в разных камерах. Чтобы заставить их признатся в ограблении, полицейские делают им предложение: если ни один из них не заговорит, обоим дадут по одному году тюрмы за наличие других мелких провинностей; если один выдаст другого, а другой не заговорит, тот , кто выдал, будет освобожден, а тому, кто не признался, дадут пятьдесят лет; если оба выдадут друг друга, оба получат по десять лет тюремного заключения. Каждый знает, что другому сделали такое же предложение. Как должны поступить подозреваемые?

Решение

Составим платежную матрицу игры,получим таблицу  1.

Таблица 1.

Поведение первого подозреваемого	Поведение второго подозреваемого		αi
	Говорить	Молчать
Говорить	-10	0	-10
Молчать	-50	-1	-50
ßj	-10	0

           Замечание. Элементы платежной матрицы отрицательны, так как подозреваемые стремятся уменьшить срок заключения.

            Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим 

$$\alpha =\max_{1\leq i\leq 2}\alpha _i= -10$$

$$\beta = \min_{1\leq j\leq 2}\beta _j= -10$$

Таким образом, игра имеет седловую точку.
Упростим платежную матрицу игры. Стратегия «Говорить» первого
подозреваемого доминирует над его стратегией «Молчать», поэтому вы-
черкнем вторую строку в платежной матрице, получим таблицу 2.

Таблица 2.

Поведение первого подозреваемого	Поведение второго подозреваемого		$\alpha _i$
	Говорить	Молчать
Говорить	-10	0	-10
β j	-10	0

Для второго подозреваемого в платежной матрице, представленной в
таблице 2, стратегия «Говорить» доминирует над его стратегией «Мол-
чать», поэтому вычеркнем второй столбец, получим таблицу 3.

Таблица 3.

Поведение первого подозреваемого	Поведение второго подозреваемого	$\alpha _i$
	Говорить
Говорить	-10	-10
β j	-10

Таким образом, каждому из подозреваемых наиболее выгодно дать
показание на своего сообщника и получить десять лет тюремного заклю-
чения.