5. Числовые характеристики и свойства ДСВ

Закон распределения пол­ностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничи­ваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится, во-первых, математическое ожи­дание, дисперсия, квадратичное отклонение и др.

5.1. Математическое ожи­дание

Математическим ожиданием случайной дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X имеет закон распределения, представленный таблицей, Тогда ее математическое ожи­дание определяется формулой   М (X) = x₁p₁+ х₂р₂ + … + х_nр_п.

Из определения следует, что математическое ожидание случайной дискретной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем будет пока­зано, что математическое ожидание случайной непрерывной величины также есть постоянная величина.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной вели­чины. Для решения многих задач достаточно знать мате­матическое ожидание. Например, если известно, что мате­матическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в сред­нем выбивает больше очков, чем второй, и, следова­тельно, стреляет лучше второго.

Математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения ряда задач, подобных, знание математического ожидания оказывается достаточным.

Задание 5-6.

1. Найти математическое ожидание случайной вели­чины X, зная закон ее распределения:

X 3         5        2

р 0,1      0,6      0,3

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х) =-3·0,1+5·0,6 + 2·0,3 = 3,9.

2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина X =”Число появлений события А в одном испытании”  может принимать только два значения: х₁= 1 (событие А наступило) с вероятностью р и х_г =0 (событие А не наступило) с вероятностью q = I - р.

Искомое математическое ожидание равно М (X) = 1·p+ 0·q =p.

Математическое ожидание числа появлений собы­тия в одном испытании равно вероятности этого собы­тия. Этот результат будет использован в дальнейшем.

Вероятностный смысл математического  ожидания  приближенно равно среднему арифмети­ческому наблюдаемых значений случайной величины, причем, чем  больше число   испытаний,  тем точнее результат.

Легко установить, что математическое ожида­ние больше наименьшего и меньше наибольшего из возможных значе­ний. Другими словами, на числовой оси возможные значения распо­ложены слева и справа от математического ожидания.

Ввиду того, что математическое ожидание характеризует расположение рас­пределения, его часто называют центром распреде­ления.

Про математическое ожидание можно сказать, что это  есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы – их вероятностям,

Происхождение термина "математическое ожи­дание” связываются  с начальным периодом применения теории вероят­ностей  в области азартных игр (XVI – XVII вв.), Игрока интересовало среднее значение ожи­даемого выигрыша, или математическое ожидание выигрыша.

Свойства математического ожидания

Свойство  1.  Математическое  ожидание  по­стоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания: М(СХ) = СМ(Х).

Для понимания последующих свойств дополнительно введем несколько комментарий

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведение независимых случай­ных величин X и Y можно определить как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение У; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Причем некоторые произведения  могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию математических ожиданий сомножителей

M(XY) = M(X)·M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных  величин имеем:

М (XYZ) = М (XY ·Z) = M (XY) M(Z)=M (X) ·М (Y) · М (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности  их математических ожиданий слагаемых.

M(X+Y) = M(X) + M(Y); M(X-Y) = M(X)-M(Y)

Эти свойство также распространяется на любое количество событий

Задание 5-6. Выполнить задания, используя свойства математического ожидания.

1. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами распределения:

X 5         2         4                                      Y         7         9

р 0,6       0,1      0,3                                    р 0,8      0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY .и X+Y

Решение. М(Х) = 4.4;   М (Y)= 7,4;    M(XY)=4,4·7,4=32,56;

M(X+Y) = 4,4+7,4=11,8

2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4; р_а = 0,3 и р_а = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу­чайная величина Xi, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью Pi = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью 0=1-0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, М(Х₁)= 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(Х₂)=0,3, М (X₃) = 0.6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Математическое ожидание находим по теореме о мате­матическом ожидании суммы:

М (X) = М(Х_г + X_z + Х_я) = М (Х₁) + М (Х₂) + М (Х₃) =.0,4+0,3 + 0,6 = 1,3 (попаданий).

3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй – через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероят­ность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на каждой кости:

M(X) = М (У) = 1·1/6 + 2·6 +3·1/6 +4·6+5·6+5·6= 7/2.

Искомое математическое ожидание  М (X + Y) = М (X) + М (У) = 7/2 + 7/2 = 7.

Замечание. При проведении независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события одинаковая, математическое ожидание равно произведению числа таковых испытаний на эту вероятность.

Задание 5-7. Найти математическое ожидание независимых испытаний

1. Произведено 10 выстрелов. Вероятность попадания  каждого – 0,6. Вычислить математическое ожидание события попаданий.

Решение. M=10·0,6=6

Задание 5-8.

1. Найти   математическое ожидание случайной дискретной величины, зная  закон ее распределения:

X 6         3        1

р 0,2      0,3      0,5            Ответ:2,6.

2. Производится   4   выстрела.  Вероятность попадания каждого в цель равна 0,6; 0,2; 0.4; 0.5; 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Ответ: 2,2 попадания.

4.  Независимые случайные дискретные величины заданы законами распределения:

Х       1        2                          Y        0,5        1

р 0,2      0,8                         р 0,3      0,7

Найти математическое  ожидание произведения XY двумя способами: а)   составив   закон   распределения   XY; б)   пользуясь   свойством   3.     Ответ: 1,53.

4. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.    Ответ: 2 детали.

5.  Найти   математическое  ожидание   произведения   числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.    Ответ:12,25 очка.

6. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.     Ответ: 6 билетов.

5.2. Дисперсия случайной дискретной   величины

Для  сравнения нескольких величин не всегда достаточно одного математического ожидания.  Легко указать такие случайные величины, кото­рые имеют одинаковые математические ожидания, но возможные различные значения.

Рассмотрим случайные дискретные величины X и Y, заданные сле­дующими законами распределения;

X     -0,01     0,01         Y -100     100

р 0,5      0,5           р 0,5      0,5         М(Х) = 0 для обеих величин одинаковое.

Несмотря на то математические ожидания этих величин одинаковые и равны, возможные значения этих величин различны. Причем величина X имеет воз­можные значения, близкие к математическому ожиданию, а величина У - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рас­сеяны вокруг математического ожидания. Другими сло­вами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

Для того чтобы оценить характер отклонения (рассеивания) зна­чений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводится числовой характе­ристикой  – дисперсия.

Пусть X - случайная величина,  М (X) – ее ма­тематическое ожидание.

Отклонением (центрированной случайной вели­чиной) называется величина, равная разности между случайной ве­личиной и ее математическим ожиданиям. X - М(Х).

Пусть закон распределения X известен и задан таблицей

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х_i - М (X), доста­точно, чтобы случайная величина приняла значение х_i Вероятность же этого события равна р_i‘, следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х_i – М (X), также равна р_i.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Задание 5-9.

1. Задан закон распределения случайной дискретной вели­чины X. Вычислить математическое ожидание отклонения

Решение. Математическое ожидание М(Х)=1·0,2+2·0,8 =1,8

Отклонения равны: 1 – 1,8 = -0,8;  2-1,8 = 0,2.

Математическое ожидание отклонения: М [X - М(Х)] = -0,8·0,2+ 0,2-0,8 = 0.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю

Это следует из следующих рассуждений. Учитывая, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий и то, что  математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), а также учитывая, что М (X) – постоянная величина, имеем:

М [X - М (X)] = М (X) – М [М (X)] = М (X) – М (X) = 0.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их сред­нее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М [X - М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было рассмотрено в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного пога­шения среднее значение отклонения равно нулю. Эти со­ображения говорят о целесообразности заменить возмож­ные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.

Дисперсия – среднее значение квадрата отклонения,

Дисперсией (рассеянием) случайной дискретной вели­чины называется математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от ее математического ожидания:

Для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вначале вычислить все возможные произведения зна­чений квадрата отклонения, а затем  эти произведения сложить.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия случайной дискретной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Вычисление, выполненное на основе определения дисперсии относительно громоздкие. Открыта формула, которая приводит к определению дисперсии значительно быстрее.

Теорема. Дисперсия ровна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(Х)= М(Х²)-( М(Х))²

Задание 5-10.

1. Вычислить дисперсию на основе определения дисперсии

Найти дисперсию случайной величины, которая задана законом распределения, представленным в таблице.

Решение.

Математическое ожидание М(Х)= 1-0,3 + 2-0,5 + 5-0,2 = 2,3.

Квадраты отклонений:  (1 – 2,3)² = 1,69;   (2 – 2,3)² = 0,09;   (5- 2,3)² = 7,29.

Закон распределения квадрата отклонения:

Дисперсия D(Х)= I,69.0,3+0,09-0,5 + 7,29·0,2 = 2,01.

2. Вычислить дисперсию по формуле.

Найти  дисперсию  случайной   величины   X,   которая задана законом распределения в виде таблицы.:

Решение.

М(Х) = 2- 0,1+3-0,6 + 5-0,3 = 3,5.

Закон распределения случайной величины Х² зададим таблицей:

Математические ожидания М(Х²) = 4- 0,1 +9-0,6 + 25-0,3= 13,3.

Дисперсия  равна D(X)=M (X^Z)-[M (X)]² = 13,3- (3,5)²= 1,05.

Замечание. Если величины X и Y имеют возможные одинаковые значения и одно и то же математическое ожидание, то их дисперсии не всегда равны, хотя ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий. Это связано с тем, что возможные одинаковые значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

Выскажем утверждение. Если вероятности "далеких” от математического ожидания возможных значений X больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероят­ности "близких” значений X меньше, чем вероятности тех же значе­ний Y, то, очевидно, дисперсия X больше дисперсии Y.

Задание 5-11. Иллюстрирующий пример, выше приведенного утверждения

Сравните дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

X - 1       1          2        3                               Y - I      1      2      3

р 0,48   0,01    0,09   0,42                             р 0,19   0,51    0,25   0,05

Решение. М(Х)=М(Y)=0,97. D(X)= 3,69;  D (Y)= 1,21.

Таким образом, возможные значения и математические ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем D (X) > D (Y). Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (С)=0

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)-C² ·D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (У)

Следствия

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2. Дисперсия суммы постоянной вели­чины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X – Y) = D (X) + D (У)

Задание 5-12..

1. Вычислить дисперсии случайной величины, по ее закону распределения:

Решение. М(Х)=3,1;  М(Х²)=10,9; D(X)=10,9-3,1²=1,29

2. Дисперсия случайной величины X равна 3.

Найти дисперсию величин: K= -5X и  S= 4X+5.

Решение. D(K)= D(-5·X)=(-5)²·D(X)=25·3=75

D(S)= D(4X+5)= D(4X)+D(5)= 4²·D(X)+ D(5) =16·3 +0=48

Дисперсия числа   появлений   события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Тогда дисперсия числа появлений со­бытия в этих испытаниях вычисляется по формуле:

D(Х)=npq, n – число испытаний, p – вероятность наступления события,   q – вероятность не наступления события

Замечание. Учитывая, что величина А распределена по биномиаль­ному закону, то верно, что дисперсия биномиального распределения с параметрами пир равна произведению прq.

Задание 5-13..

1.Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X- числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. Известно, что n=10; p=0,6; q=1-0,6=0,4. D(X)=10·0,6·0,4=2,4.

5.3. Среднее квадратическое (квадратичное)  отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения кроме дис­персии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной ве­личины X называют   квадратный   корень   из  дисперсии:

В тех случаях, когда жела­тельно, чтобы оценка рассеяния имела размерность слу­чайной величины, вычисляют среднее квадратическое от­клонение, а не дисперсию. Так, если X выражается в линейных метрах, то  будет выражаться также в линейных метрах, a D (X) - в квадратных метрах.

Задание 5-14..

1. Случайная   величина   X задана  законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение

Решение. М(Х) = 2· 0, 1+3·0,4 + 10·0,5 = 6,4.

М(Х²) = 2²· 0,1 + 3²·0,4 + 10²·0,5 = 54.

D(Х) = M(X²) – [M(Х)]² = 54 – 6,4²= 13,04.

Среднее квадратическое отклонение  =3,61.

2. Известны дисперсии двух независимых случайных вели­чин: D(X) = 4, D(K)=3. Найти дисперсию суммы этих величин. Ответ: 7.

3..  Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин:

а) X- 1;            б) – 2Х; в) ЗХ + б.     Ответ: а) 5;   б) 20;   в) 45.

4. Случайная   величина X принимает только два значения: С и -С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Ответ: С².

5. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре­деления

X 0,1        2         10         20

р 0,4      0,2       0,15     0,25        Ответ: 67,6404.

6. Случайная величина X может принимать два возможных зна­чения:  х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₂ > х₁. Найти х₁ и x₂ зная, что М(Х)=2,7 и D (X) =0,21.

Ответ: х₁₌ 2, х₂ = 3.

7. Испытывается   устройство,   состоящее  из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,3; р₂ = 0,4;  p₃ = 0,5;   p₄ = 0,6.   Найти   математическое ожидание и дис­персию числа отказавших приборов.  Ответ:1,8; 0,94.

8.  Найти  дисперсию  случайной   величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом вероят­ность наступления события равна 0,7. Ответ: 21.

9. Дисперсия  случайной   величины   D(X) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение а (X). Ответ: 2,5.

10. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Ответ: 2,2.

11. Дисперсия каждой   из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.  Ответ: 4.

12.  Среднее   квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных   взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти   среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.  Ответ: 2,5.

6. Функция   распределения  ДСВ

Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий спо­соб задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, т. е. вероятность события X < х, обозначим через F(x). Разу­меется, если х изменяется, то, изменяется и F(x)_. Итак, F (x) - функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(х), опре­деляющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, или

F(х)=P(X<x)

С геометрической точки зрения F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина "функция распределения” используют термин "интегральная функция”.

Теперь можно дать более точное определение случайной непрерывной величины.

Случайную величину назы­вают непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­прерывной производной.

Свойства функции распределения

Свойство  1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;!]:  0≤ F(х)≤1.

Свойство 2. F (х) – неубывающая функция, т. е. F (x₂) ³ F (x₁), если х₂ > x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин­тервале;

P(a ≤ X ≤b) = F (b) – F (а).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Замечание При рассмотрении функции распределения, промежуток можно записывать в виде [x₁; x₂], тогда:

p(x₁≤ x ≤ x₂) = F (x₂) – F (x₁).-  что более понятно и привычно.

Не представляет интереса говорить о вероятности того, что случайная непрерывная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рас­сматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответ­ствует требованиям практических задач. Например, инте­ресуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что ра­венство нулю вероятности Р (X=x) означает, что событие X = х, невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значении; в частности, это значение может оказаться равным х₁.

Свойство 3. Пусть возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b). Тогда верны утверждения

F(x} = 0  при х≤ a;           F(x) = 1 при х ≥ b.

Следствие. Если возможные значения случайной непрерывной величины расположены на всей оси х, то спра­ведливы следующие предельные утверждения:

- При x стремящемуся к минус бесконечности, предел  F(x} равен 0.

- При x стремящемся к плюс  бесконечности, предел  F(x} равен 1

Аналитическое и графическое задание функции распределения

Функция распределения случайной дискретной величины состоит из нескольких кусков, поэтому ее график имеет ступенчатый вид. Покажем это при решении задач.

Задание 5-15. Найти функцию распределения и вычертить ее график.

1. Случайная дискретная  величина  X задана таблицей распределения

X         1          4         8

Р 0,3       0,1      0,6

Решение. Если х ≤ 1, то F(x) = 0 (третье свойство).

Если  1 < х ≤; 4, то F(x) = 0,3.

Если 4 < х ≤ 8, то F (х) = 0,3+0,1=0,4. Это следует из того, что эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X равна сумме вероятностей.

Если х > 8, то F(x) = 1 Действительно,   событие  Х ≤ 8 досто­верно, следовательно, его вероятность равна единице.

Онлайн сервис:  решение задач по теории вероятности