ЦПТ в схеме Бернулли. Пусть случайные величины ξ_i имеют распределение Бернулли и связаны с результатами отдельных испытаний схемы Бернулли,

a = p, σ = pq, а величина S_n = ν_n есть число успехов в n испытаниях
схемы Бернулли. Тогда центральная предельная теорема и её следствие (25)
превращаются в  интегральную теорему Муавра—Лапласа

Т е о р е м а 32 (интегральная теорема Муавра—Лапласа). Пусть ν_n —
число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.
Тогда для любых x < y имеет место сходимость при n → ∞

т.е. для любых k₁ < k₂ число успехов заключено в границах от k₁ до k₂
с вероятностью

Пусть число испытаний n велико, а вероятность успеха p не слишком
мала (достаточно, чтобы npq > 10)

Пример 1. Правильную монету подбрасывают 10000 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4900 до 5100 раз.

Решение. (см. функция Ф(х) таблица)

Мы получили странный результат: с вероятностью более 0,95 число гербов
после десяти тысяч бросков монеты лежит в границах 5000 ± 100. Иными
словами, есть только 5% шансов, что количество выпавших гербов будет
отличаться от 5000 более чем на 100.
Диапазоном, в котором возможное число гербов лежит с вероятностью
единица (т.е. обязательно), будет отрезок от 0 до 10000. Чтобы сузить этот диапазон, придётся пожертвовать достоверностью нашего предсказания.

Пример 2.  Правильную монету подбрасывают 10000 раз. В каких границах лежит число гербов с вероятностью  0,999 ?

Решение. (см. функция Ф(х) таблица) Воспользуемся теоремой Муавра—Лапласа.

Мы получили диапазон длиной всего 330. Тем не менее, имеется лишь одна
десятая процента шансов обнаружить после 10000 бросков монеты число
гербов за пределами этого диапазона.