Формула размещений без повторений

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

Размещениями из $п$ элементов по $m$ в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит $m$ элементов, взятых из числа дан­ных $n$ элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Задача 1. Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.В условии задачи речь идет о расчете числа размещений без повторений из 10 элементов по 3.

Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

$$A_{10}^3=\frac{10!}{(10-3)!}=720$$

Ответ.Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

 

Формула размещений c повторениями

$$A_n^m=n^m$$

Размещение с повторениями из $n$ элементов по $m$ элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до $m$ включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из $n$ элементов поmэлементов мо­жет состоять не только из различных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов. Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

&n ... Смотреть решение »

Определение непрерывности по Коши (на языке  $ε−δ$)

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая отображает множество действительных чисел $R$ на другое подмножество $B$ действительных чисел. Говорят, что функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a∈R$, если для любого числа $ε>0$ существует число $δ>0$, такое, что для всех $x∈R$, удовлетворяющих соотношению $|x−a|<δ$, выполняется неравенство $|f(x)−f(a)|<ε.$

 

Задача 1. Доказать на языке эпсилон-дельта, что функция $y=7x−4$ непрерывна в точке $x_0=6$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если для любого $ε>0$ найдётся такое $δ>0$, что для любого $x $если $|x−a|<δ, то |f(x)−f(a)|<ε$.

Пусть $f(x)=7x−4, a=6$. Эта функция непрерывна в указанной точке, если $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|7x−4−38|<\varepsilon).$$ Иначе: $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|x−6|<\frac{\varepsilon }{7}).$$

Осталось положить $δ=\frac{\varepsilon }{7}$.

 

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке $x=a$, если справедливо равенство

$\lim\limits_{\Delta x \ ... Смотреть решение »