Комбинаторные уравнения

Для решения комбинаторных уравнений, достаточно знать основные формулы комбинаторики:

• формула перестановок $P_n=n!$,
• формула сочетаний $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$,
• формула комбинаций $С_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

и уметь решать алгибраические уравнения.

 

Задача 1. Решить комбинаторное уравнение:

$$\frac{P_x+3P_{x-1}}{2P_{x+2}+14P_{x+1}}=\frac{2A_{x}^{5}}{5A_{x+2}^{7}}$$

Решение.

Шаг 1. Применяем формулы комбинаторики (перестановки, сочетания) получаем:

$$P_{x+1}= (x+1)!,\: A_{x}^{5}=\frac{x!}{(x-5)!},\: A_{x+2}^{7}=\frac{(x+2)!}{(x+2-7 )!}=\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!} $$

Шаг 2. Подставим эти выражения в уравнение и найдем его решение:

$$\frac{x!+3\cdot(x-1)! }{2\cdot (x+2)!+14\cdot (x+1)!}=\frac{2\cdot\frac{x!}{(x-5)!} }{5\cdot\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!} }$$

$$x^2-11x+30=0\Rightarrow x_1=5,\: x_2=6$$

Для проверки правильности решения  комбинаторного уравнения можно воспользоваться калькулятором комбинаторных уравнений. Формулы набираем как на обычном калькуляторе, знак факториал(!)

... Смотреть решение »