Пример  Случайная величина X распределена нормально и имеет дисперсию,равную 16. Сколько раз нужно измерить случайную величину, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,9 можно было утверждать, что эмпирическое математическое ожидание отклонится от истинного математического ожидания на величину не большую чем 0,2?
( Найти число измерений - найти объем выборки)

Пример 1. Класс точности измерительного прибора обеспечивает среднюю квадратическую погрешность измерений σ_x= 0,05, причём ошибка измерений распределена по нормальному закону с нулевым средним значением. При измерении некоторой постоянной величины были получены следующие значения: 5,25; 5,23; 5,29; 5,31; 5,22; 5,26; 5,23; 5,26; 5,26; 5,24; 5,25; 5,21; 5,27; 5,24; 5,28; 5,25. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью   γ=0,95.

(В данной задаче необходимо найти точечную оценку математического ожидания - эмпирическое математическое ожидание и построить доверительный интервал для математического ожидания)


Пример 2. При измерении некоторой постоянной величины были получены следующие значения: 5,25; 5,23; 5,29; 5,31; 5,22; 5,26 ... Смотреть решение »

Как найти несмещенную дисперсию если известна эмпирическая дисперсия и объем выборки.

Пример. По выборке объёма n = 20 найдена оценка дисперсии D_x случайной X: D_x= 4,8
Определить несмещённую оценку S² неизвестной дисперсии.

Решение. Воспользуемся формулой :

Её рекомендуется использовать вместо оценки D_x , особенно при малых значениях n.

 Свойством несмещённости обладают только первые два эмпирических момента.

Моменты более высоких порядков ни при каких весовых коэффициентах суммирования таким свойством не обладают, т. е. они всегда имеют неустранимое смещение.

Этот метод требует знания закона распределения случайной величины с точностью до неизвестных параметров.

Пример. Построить оценку максимального правдоподобия для параметра случайной величины X с плотностью распределения вероятностей f (x) = λexp{–λ x}, x > 0.

Рассмотрим кратко методы нахождения оценок.

Один из методов предполагает задание структуры оценки с точностью до неизвестных параметров, которые определяются из условия минимума дисперсии оценки.

Пример . Некоторая постоянная величина C была измерена тремя измерительными приборами по 4 раза каждым. Измерения, полученные с помощью первого прибора, равны 4,75, 4,9, 5,05, 4,85, с помощью второго прибора – 4,9, 5,1, 4,7, 5,15, с помощью третьего прибора – 4,7, 4,95, 5,05, 5,25. Класс точности измерительных приборов такой, что первый из них обеспечивает среднее квадратическое отклонение измерений 0,1, 0,15, третий – 0,2. Требуется оценить истинное значение величины C.