Задача о брахистохроне - 5 Февраля 2014 - Примеры решений задач

Главная » 2014 » Февраль » 5 » Задача о брахистохроне

14:54

Задача о брахистохроне

Задача о брахистохроне - линии наискорейшего ската, первая задача, положившая начало развитию вариационного исчисления.

Среди всех линий, соединяющих точки $M_1$ и $M_2$ , требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из $M_1$ без начальной скорости, достигнет пункта $M_2$ в кратчайшее время.

Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие $M_1$ и $M_2$ . Если взять какую-либо одну определенную линию $l$ , то ей будет отвечать какое-то определенное значение $T$ времени ската по ней материальной точки. Время $T$ будет зависеть от выбора $l$ , и из всех линий, соединяющих $M_1$ и $M_2$ , нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение $T$ .

Постановка задачи о брахистохроне.

Проведем через точки $M_1$ и $M_2$ вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку $M_1$ за начало координат, ось $Ox$ направим горизонтально, ось $Oy$ — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки $M_1$ будут $(0;0)$ ; координаты же точки $M_2$ назовем $(x_2,y_2)$ . Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением

$ $y=f(x),\quad 0\leqslant x \leqslant x_2,~~~~~~~~~(1)$ $

где $f$ — непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через $M_1$ и $M_2$ , функция $f$ на концах отрезка $[0;x_2]$ должна удовлетворять условиям

$ $f(0)=0,\quad f(x_2)=y_2.~~~~~~~~~(2)$ $

Если взять на линии произвольную точку $M(x,y)$ , то скорость движения $v$ материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой $y$ точки известным из физики соотношением

$ $\frac{1}{2}\,v^2=gy$ , или $v=\sqrt{2gy}.$ $

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка прошла элемент $ds$ дуги линии, имеет значение

$ $\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx,$ $

и поэтому полное время ската точки вдоль линии от $M_1$ до $M_2$ , равно

$ $T=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int\limits_{0}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\,dx.~~~~~~~~(3)$ $

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).

Подробное решение задачи о брахистохроне с помощью вариационного исчисления.

Категория: Вариационное исчисление | Просмотров: 4088 | Добавил: Admin | Рейтинг: 1.0/1

Всего комментариев: 0