Бинарные отношения и их свойства.

Систематизация свойств.

 Каждое бинарное (двухместное) отношение характеризуется свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Полное или частичное отсутствие этих свойств в отношении отражается в их наименовании приставками соответственно "анти" и "не". Определённым сочетаниям этих базовых свойств даны свои специальные наименования; например, антисимметричное и антирефлексивное отношение называется асимметричным.

Свойство рефлексивности рассматривается для одного элемента множества.

  Отношение называется рефлексивным, если для любого предмета из области его определения имеет место это отношение предмета к самому себе. Отношение ровесник, определенное на области пар людей, рефлексивно, потому что любой человек ровесник самого себя.

  Если отношение имеет место не для любой такой пары, то оно называется нерефлексивным. Нерефлексивно отношение любит, определенное на области пар людей, так как не все люди любят себя.

  Если отношение не имеет места ни для одной такой пары, то отношение называется антирефлексивным. Отношение больше, определённое на области пар материальных предметов, антирефлексивно, поскольку ни один предмет не больше самого себя.

Свойство симметричности рассматривается для двух разных элементов множества.

 Отношение называется симметричным, когда для любых пар предметов из области его определения верно, что, когда это отношение x и y , то оно имеет место и в паре (y,x) . Отношение ровесник симметрично, так как для любых двух людей верно, что, если первый ровесник второго, то и второй ровесник первого.

 Отношение называется несимметричным, если оно верно не для любых двух предметов из области определения. Несимметрично отношение любит, поскольку не для любых двух людей верно, что если первый любит второго, то второй любит первого.

 Отношение называется антисимметричным, если в области определения отношения не существует пар указанного вида, для которых это верно. Отношение больше антисимметрично, потому что ни для каких предметов не может быть так, что первый предмет больше второго, а второй больше первого.

Свойство транзитивности рассматривается для трёх разных элементов множества.

 Отношение называется транзитивным, если оно обязательно имеет место для пары  (x,z) при условии его наличия в парах (x,y) и (y,z) . Отношение ровесник транзитивно, так как для любых трёх людей, если один человек ровесник другого, а тот ровесник третьего, первый непременно является ровесником третьего.

Отношение называется нетранзитивным, если это верно не для любых предметов из области определения отношения. Нетранзитивно отношение любит, потому что неверно, что оно имеет место в паре (x,z) всегда, когда оно наличествует в парах (x,y) и (y,z), т. е. не обязательно, чтобы первый человек любил третьего, когда первый любит второго, а второй любит третьего.

 Отношение называется антитранзитивным, если в области определения отношения не существует таких предметов, для которых это было бы верно. Антитранзитивно отношение отец, потому что не найдется таких трёх пар указанного вида, чтобы это отношение имело место во всех трёх. Никогда не может быть так, что первый человек - отец второго, второй - отец третьего, и при этом первый - отец третьего.

Определения.

• Определение. Отношение ρ называется рефлексивным, если каждый элемент x∈A находится в этом отношении сам с собой: xρx для всех x∈A. На языке кванторов: ∀ x∈A: xρx
• Определение. Отношение ρ называется симметричным, если из того, что xρy следует, что yρx : ∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
• Определение. Отношение ρ называется транзитивным, если из того, что xρy и yρz , следует, что xρz: ∀x,y,z∈A: (xρy ∧ yρz ) ⟹ xρz
  •  нерефлексивным, если: ¬∀ x∈A: xρx
  •  несимметричным, если: ¬∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
  •  нетранзитивным, если: ¬∀x,y∈A: (xρy∧ yρz)⟹ xρz
    • антирефлексивным (иррефлексивным), если: ∀x∈A: ¬(xρx)
    • антисимметричным, если: ∀x,y∈A: (xρy⟹ yρx) ⟹ x=y
    • антитранзитивным, если: ∀x,y,z∈A: (xρy∧ yρz) ⟹ ¬(xρz)
• Определение. Бинарное отношение на некотором множестве называют эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.