Задача. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностями соответственно равными Р1 = 0,2; Р2 = 0,3; Р3 = 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05 Пусть в условиях  задачи поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке?

Обозначим события: А = «Изделие удовлетворяет техническим условиям»
В1 = «Изделие обрабатывалось на первом станке»
В2 = «Изделие обрабатывалось на втором станке»
В3 = «Изделие обрабатывалось на третьем станке»

Для решения поставленной задачи используем формулу полной вероятности: $$P(A)=P(B_{1})\cdot P_{B1}(A)+P(B_{2})\cdot P_{B2}(A)+P(B_{3})\cdot P_{B3}(A)$$

$$P(B_{1})=0,2\; \; \; \; \; \; \; P_{B1}(A)=1-0,02=0,98$$

$$P(B_{2})=0,3\; \; \; \; \; \; \; \; P_{B2}(A)=1-0,03=0,97$$

$$P(B_{3})=0,5\; \; \; \; \; \; \; \; P_{B3}(A)=1-0,05=0,95$$

$$P(A)=0,2\cdot 0,98+0,3\cdot 0,97+0,5\cdot 0,95=0,745$$

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

$$P_{A}(B_{3})=\frac{P\left ( B_{3} \right )\cdot P_{B3}\left ( A \right )}{P\left ( A \right )}$$

$$P_{A}\left ( B_{3} \right )=\frac{0,5\cdot 0,95}{0,745}=0,638$$

ОТВЕТ: Вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке, при том что оно оказалось удовлетворяющим техническим условиям, равна 0,638.