Производная функции, заданной параметрически - 23 Августа 2012 - Примеры решений задач

Главная » 2012 » Август » 23 » Производная функции, заданной параметрически

15:49

Производная функции, заданной параметрически

Пример.Функция y=f(x) задана уравнением

$r=a\left ( 1+cos\varphi \right ),\varphi \in \left ( 0;2\pi /3 \right )$

где $r,\varphi$ - полярные координаты точки (x;y). Найти ${y}'_{x}$

Решение.Перейдем к параметрическому заданию функции

$x=rcos\varphi =a\left ( 1+cos\varphi \right )cos\varphi ,$
$y=rsin\varphi =a\left ( 1+cos\varphi \right )sin\varphi$

и воспользуемся формулой производной функции заданной параметрически

${y}'_{x}=\frac{{y}'_{\varphi }}{{x}'_{\varphi }}$

находим

${y}'_{x}=\frac{{y}'_{\varphi }}{{x}'_{\varphi } }=-\frac{a\left ( 1+cos\varphi \right )cos\varphi -asin^2\varphi }{a\left ( 1+cos\varphi \right )sin\varphi +acos\varphi sin\varphi }=\frac{cos\varphi +cos2\varphi }{sin\varphi +sin2\varphi }=$ $=-\frac{cos\left ( 3\varphi /2 \right )cos\left ( \varphi /2 \right )}{sin\left ( 3\varphi /2 \right )cos\left ( \varphi /2 \right )}=-ctg\left ( 3\varphi /2 \right ),\varphi \in \left ( 0;2\pi /3 \right )$

Категория: Найти производную | Просмотров: 7095 | Добавил: Admin | Теги: производная параметрически заданной, производная параметрической функции, найти производную | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0