Примеры бинарных отношений:

• на множестве целых чисел Z отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
• на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
• на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».

Определение 1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XxY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x∈X,  y∈Y.

Определение 2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения X×Y. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Пример 1. Пусть X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда множество кортежей a={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X в Y.

Факт принадлежности кортежа (x, y) соответствию  ρ, часто обозначают с помощью так называемой инфиксной формы записи:  x ρ y.

Типичными примерами таких записей из курса математики являются:

x > y, a = b, 8⋮4, m||p, a⊥b и т. п. 

Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = {a, b, c, d, e}.

Вначале рассмотрим метод, восходящий к аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1).

Рис. 1. Координатная сетка

Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y)  . На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению α = {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}.

Рис. 2. Бинарное отношение α

Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании ориентированных графов. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения a дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения a изображен на рисунке 3.

Рис. 3. Граф бинарного отношения

Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется матричный способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X = {x₁, x₂, ..., x_n} и определим матрицу отношения A = [a_ij] следующим образом:

Таким образом, матрица отношения A, представленного графом на рисунке 3, имеет вид

Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.