Ключевые слова: вычислить двойной интеграл, правильная (неправильная область интегрирования, переход от двойного интеграла к повторному (двукратному), приведение вычисления кратного интеграла к вычислению определенного интеграла.

На конкретном примере покажем алгоритм вычисления двойного интеграла:

1) Строим область интегрирования D.

Можно воспользоваться калькулятором для построения области интегрирования.

2) Определяем правильная или неправильная область D.

Область D – правильная в направлении оси Oy:

Данный пункт всегда необходимо выполнять, иначе будет получен неправильный результат. Смотри методика определения правильной области D (области интегрирования).

Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла.

3) И тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу:

Как видим вычисление двойного интеграла свелось к вычислению повторного интеграла, т.е. к вычислению двух определенных интегралов, сначала внутреннего, потом внешнего. Можно применить  калькулятор вычисления определенных интегралов:

Проверить вычисление можно на калькуляторе повторных интегралов: