Решим задачи, контрольные, курсовые...

Меню сайта

Наш опрос

Что добавить на сайт?

Примеры решений интегралов

Примеры решений пределов

Примеры решений транспортных задач

Примеры решений задач по химии

Примеры решений задач по физике

Примеры решений теории вероятности

Онлайн калькуляторы

Ваше предложение, напишите в гостевой книге

[ Результаты · Архив опросов ]

Всего ответов: 38

Обмен ссылками

Решим задачи, контрольные по математике и физике

после добавление ссылки

на свой сайт сообщите на

почту: [email protected]

Статистика

...

Поиск

Форма входа

Войти через uID

Материалы

06.02.2013 [Математическая статистика]

уравнение регрессии

06.02.2013 [Математическая статистика]

выборочный коэффициент корреляции

05.02.2013 [Исследовать функцию,построить график]

Построить график двух функций онлайн

05.02.2013 [Вычислить интеграл]

Решение двойных интегралов онлайн

04.02.2013 [Решение уравнений]

Решение логарифмических уравнений онлайн

04.02.2013 [Вычислить интеграл]

Найти неопределенный интеграл онлайн

04.02.2013 [Вычислить интеграл]

Решение определенных интегралов онлайн

04.02.2013 [Решение уравнений]

Решение тригонометрических уравнений онлайн

04.02.2013 [Дифференциальные уравнение]

Решение дифференциальных уравнений онлайн

02.02.2013 [решение задач по физике]

эффект Комптона

Калькулятор

Главная » Мат анализ » Пределы » Задача 2.

Задание. Найти предел функции

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}$

Решение.

Способ 1. Преобразуем выражение к экспоненте в сложной степени и вычислим предел, к которому стремится показатель степени.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2-x+1}} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{(3x+4)\ln \left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}} \right )$

$\dpi{100} = A$

Рассмотрим

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\ln A=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\left ( \ln \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}\right )=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\ln \left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )=$

Используем, что $\dpi{100} \ln (1+z)$ при $\dpi{100} z\rightarrow 0$ . Здесь

$\dpi{100} \frac{x}{3x^{2}-x+1}\rightarrow 0, x \to \infty$

так как старшая степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Поэтому

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }(3x+4)\frac{x}{3x^{2}-x+1}=1, \Rightarrow A=e^{1}=e.$

Способ 2.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1-x+x}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )^{\left ( \frac{3x^{2}-x+1}{x} \right )\left ( \frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )(3x+4)}=$

Используем второй замечательный предел $\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e.$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{x(3x+4)}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3x^{2}+4x}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3+4/x}{3-1/x+1/x^{2}} \right )}=e^{1}=e.$