По теме
Корреляционной зависимостью $Y$ от $X$ называют функциональную зависимость условной средней $y_x^*$ от $x$.
$$y_{x}^{*}=f(x)$$
представляет уравнение регрессии $Y$ на $X$ , а
$$x_{y}^{*}=\varphi \left ( y \right )$$
- уравнение регрессии $X$ на $Y$ .
Корреляционная зависимость может быть линейной и криволинейной.
В случае линейной корреляционной зависимости выборочное уравнение прямой линии регрессии$Y$ на $X$ имеет вид:
$$y_{x}^{*}-y^{*}=\frac{k(X,Y)}{D_{x}^{*}}\left ( x-x^{*} \right ).$$
Пример 1. Построить прямую регрессии мировых рекордов по прыжкам с шестом от соответствующего года, если нам известна динамика результатов в ХХ веке.
|
1912 г.
1936 г. 1972 г. 1980 г. 1988 г. 1994 г. |
Стокгольм,
Берлин, Мюнхен, Москва, Сеул, Сетриере |
Гарри Бебкок (США)
Эрл Мидоуз (США) Волфганг Нордвик (ГДР) Владислав Казакевич (Польша) Сергей Бубка (СССР) Сергей Бубка (Украина) |
3,95
4,35 5,50 5,78 5,90 6,14 |
Решение. 1). Запишем в таблицу соответствие результатов некоторых мировых рекордов по прыжкам с шестом и годы их установления в ХХ веке.
| $X$ = {год рекорда} | (19)12 | 36 | 72 | 80 | 88 | 94 |
| $Y$ = {высота рекорда} | 395 | 435 | 550 | 578 | 590 | 614 |
$2).x^{*}=64;\; \; \; y^{*}=\frac{1}{6}(395+435+550+578+590+614)=527$
$3).k(X,Y)=\frac{1}{6}\left [ (-52)\cdot (-132)+(-28)\cdot (-32)+8\cdot 23+16\cdot 51+24\cdot 63+30\cdot 87 \right ]\approx 2427;$
$4).D_{x}^{*}=\frac{1}{6}\left [ (-52)^2+(-28)^2+8^2+16^2+24^2+30^2 \right ]\approx 880$
5). Искомое уравнение прямой регрессии выглядит следующим образом
$$y_{x}^{*}-527=\frac{2427}{880}(x-64),$$
или $$y_{x}^{*}=2.75x+351$$