Случайные дискретные величины  (ДСВ)

План:

1.  Понятие  случайной  величины и их  виды

2. Закон  распределения  ДСВ.

3.  Биномиальное распределение,

4. Геометрическое распределение

5. Числовые характеристики и свойства ДСВ

6. Функция   распределения  ДСВ

Теоретические сведения

1. Понятие  случайных   величин и их  виды

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние. Это значение не известное и оно зависящее от некоторых случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры случайных величин:

1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожден­ных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: О, 1, 2, …. 100.

2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принад­лежат некоторому промежутку (а, Ь).

3. Урожайность любой культуры есть случайная величина, которую трудно прогнозировать, но эта величина находится в некотором интервале в зависимости от региона и культуры, а также иных причин.

4. Оценка на экзамене по теории вероятностей, в принципе случайная величина, принимающая значения 1,2,3,4.5.

5. Число принявшихся саженцев из купленных  10 штук.

Случайные величины обозначаются буквами латинского алфавита, например X,Y, Z. Их возможные значения обозначаются  соот­ветствующими строчными буквами x,y z. с индексами внизу

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные величины

Случайной дискретной величиной является величина, значения которой отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений  этой величины. Случайная величина при этом принимает отдельные, изолированные возможные значения. Примеры 1, 4,5.

Случайной непрерывной  величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим воз­можных значений случайной величины.  Непрерывная случайная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным. Примеры 2,3.

2. Закон  распределения  ДСВ

При рассмотрении случайных дискретных вели­чин правомочен вопрос о вероятности появления каждого своего значения.

Законом распределения случайной дискретной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения чаще всего задается  табличным способом. Возможно его задание графическим или  аналити­ческим (в виде формулы) способами.

При табличном задании – первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая –  их вероятности. См таблицу.

Значения величины  образуют полную группу, причем сумма их вероятностей равна единице p₁+ p₂ +…+ p_n =1.

Задание 5-1. Найти закон распределения

1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по I руб. Найти закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: х₁=50, x₂=I, x₃ = 0. Вычислим соответствующие им вероятности. Всего было 100 билетов, среди них один билет в 50 рублей, поэтому  р₁ =  1/100=0,01 и 10 билетов по 1 рублю, значит  р₂ = 10/100=0,1, p₃=l- (0,01 + 0,1) = 0,89.

Ответ Закон распределения: записан в виде таблицы

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

2. В новогодней школьной лотереи лотерее разыгрывается  1 книга,  10 игрушек, 100 открыток. Найти закон распределения случайной величины X для владельца одного билета.

3.  Биномиальное распределение,

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появиться либо не появиться. Положим, что вероятность наступления события во всех  испытаниях постоянна и равна p. Зададим в этих испытаниях. случайную дискретную. величину X – число появлений со­бытия  A и для нее установим закон распреде­ления

Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …. либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x_i = 0,1,2,… n. Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли.

,  где n – число исходов, k =0,1,2,…n,  p – вероятность наступления события, q -  вероятность не наступления события (q =1-p)

Указанная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Полученное распределение называется  биномиальным распределением вероятностей ввиду того, что эту формулу можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Задание 5-2. Найти  закон распределения случайной величины по формуле Бернулли.

1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений "герба”.

Решение. Вероятность появления "герба” в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность не появления герба  9=1-1/2 = 1/2.

При двух бросаниях монеты "герб” может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X: 0,1,2.. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли.   Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

2. По мишени проводится 4 выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найти закон распределения случайной величины Х – число попаданий в мишень.

Решение. Возможные значения случайной величины  х=0,1,2,3,4. Всего 5 значений. соответствующие им  вероятности находятся по формуле Бернулли:  р₀ =С₄⁰·0,8⁰·0,2⁴=0,0016. Аналогично находятся остальные вероятности.

Для наглядности закон распределения случайной дискретной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (X_i, P_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распре­деления. Он представлен на рисунке.

3. Используя ответы в предыдущем задании, найти вероятности события 1 ≤ х ≤ 3 и вероятность события х ³ 3

Р(1 ≤ х ≤ 3) = Р(1,2,3) = 0,0256 +0,0536+0,4096 = 0,5888 и  Р(х ³ 3) = Р(4)= 0,4096

4. В ящике 7 шаров, из них белых – 4, черных -3. Извлекается наудачу 3 шара. Найти закон распределения случайной величины Х – число извлеченных белых шаров.

Распределение Пуассона

При рассмотрении случайной дискретной величины в которой число значения этой величины очень велико. то воспользоваться формулой Бернулли затруднительно. В таких случаях используется  распределение Пуассона, когда подсчет вероятности производится по формуле Пуассона, а  такое распределение называется распределением Пуассона

Формула Пуассона имеет вид  , где .

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий. Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­рыми можно найти P_n(k), зная k и λ.

Задание 5-3. Записать распределение Пуассона.

1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три  негодных изделия.

Решение. n=5000, р=0,0002, k = 3. λ = np = 5000 -0.0002=1. По формуле Пуассона   искомая   вероятность  приближенно равна P₅₀₀₀(3)=(1³ :3!)·e^-1 =1:6e=0,06

4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0 < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 – р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если собы­тие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k - 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X случайную дискретную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значе­ниями X являются натуральные числа: х_г= 1, Х₂ = 2, …

Пусть в первых k - 1 испытаниях событие А не насту­пило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого "сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X = k) = q^k-1 p. Полагая k =1,2, 3 …, получим геометри­ческую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):   p;  qp;  q²p, … q^k-1p

По этой причине такое  распределение  называют геометри­ческим. Это есть пример задания закона распределения в виде формулы.

Задание 5-4. Геометрическое распределение.

1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р =0,6, q = 0,4, k = 3.

Ответ. Р= q^k-1p=0,4²·0,6=0,096

Задание 5-5. Распределение случайной дискретной величины

1. Даны значения случайной величины 2, 5, 8.   Известны  вероятности   первых двух возможных зна­чений 0,4 и 0,15. Найти вероятность третьего значения p(х_а). Ответ 0,45.

2. Игральная   кость  брошена 3 раза. Написать закон распреде­ления числа появлений шестерки.

Ответ. X 3             2               1                0

р 1/216      15/216      75/216      125/216

3. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события  А в трех независимых испытаниях, если вероятность появ­ления события в каждом испытании равна 0,6.

Ответ. А         0             1             2             3

р 0,064      0,288      0,432      0,216

4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероят­ность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах.   Ответ. Р₁₀₀₀(5)=0,1562.

5. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распре­делено по закону Пуассона.

Комментарии. Задача   сводится   к   отысканию   параметра   λ. Он находится из  уравнения   е^–λ = 0,05.  Ответ. 3.

6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероят­ность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какова вероятность того, что в одну минуту позвонят 3 абонента? 4 абонента?  Ответ. Р₁₀₀(3) = 0,18;   Р₁₀₀ (4) =0,09.

7.  Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содер­жит   1000   опечаток.   Найти   вероятность   того,   что   наудачу  взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток рас­пределено по закону Пуассона.  Ответ. а) Р=1- е-^1!= 0,6321; 6) Р₁₀₀₀ (2) = 0,18395; в) Р = 0,2642.

8. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно 5. Найти   вероятность   того,   что   за   2   мин   поступит;   а)   два  вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Комментарии: е^-10 = 0,000045.  Ответ. а) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505.

9. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести   очков. Найти   вероятность  того, что первое выпадение "шес­терки” произойдет при втором бросании игральной кости. Ответ. Р(х=2) = 5/36.

10. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероят­ность  того, что  среди  5  взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных. Ответ.   P(х=3) = 14/33.

Онлайн сервис:  решение задач по теории вероятности