Разбор задачи
Условие и материал
Задача. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти: Р2; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X2.
1) Определим Р2. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р1 + Р2 + Р3 = 1), то Р2 найдем из формулы:
2) Построим функцию распределения
а) Рассмотрим первый интервал х <= 2:
б) Рассмотрим второй интервал 2 < х <= 5:
в) Рассмотрим третий интервал 5 < х <= 8:
г) Рассмотрим четвертый интервал х > 8:
Запишем закон распределения:
3) Построим график функции распределения:
4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):
5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):
6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:
7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X2
| X | 2 | 5 | 8 |
| P | 0,4 | P2 | 0,1 |
Найти: Р2; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X2.
РЕШЕНИЕ
1) Определим Р2. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р1 + Р2 + Р3 = 1), то Р2 найдем из формулы:
Р2 = 1 - Р1 - Р3
Р2 = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5.
2) Построим функцию распределения
а) Рассмотрим первый интервал х <= 2:
б) Рассмотрим второй интервал 2 < х <= 5:
в) Рассмотрим третий интервал 5 < х <= 8:
г) Рассмотрим четвертый интервал х > 8:
Запишем закон распределения:
3) Построим график функции распределения:
4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):
М(Х) = 2 ? 0,4 + 5 ? 0,5 + 8 ? 0,1 = 4,1.
5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):
Д(Х) = М(Х2) – М2(Х)
М(Х2) = 22 ? 0,4 + 52 ? 0,5 + 82 ? 0,1 = 20,5.
Д(Х) = 20,5 – 4,12 = 3,69.
6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:
7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X2
| X | 2 | 5 | 8 |
| Y=2X | 4 | 10 | 16 |
| Y=X2 | 4 | 25 | 64 |
| P | 0,4 | P2 | 0,1 |