Решим задачи, контрольные, курсовые... - Решение задач по теории вероятности

Задача 106.( Гмурман, формула Байеса ) Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны _P1= 0,4, р₂ = 0,3, ;рз = 0,5.

Решение. Обозначим через А событие—два орудия попали в цель.
Сделаем два предположения (гипотезы):
B₁—первое орудие попало в цель;
В₂—первое орудие не попало в цель.
По условию, P(В₁) = 0,4; следовательно (событие В₂ противоположно событию B₁),

Р(В₂)= 1—0,4 = 0,6.

Найдем условную вероятность P_В1 (А), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй—либо вторым орудием (при этом третье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудие дало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:

$P_{B_2}\left ( A \right )=p_2\cdot q_2+p_3\cdot q_2=0.3\cdot 0.5+0.5\cdot 0.7=0.5$ .

Найдем условную вероятность P_B2(A), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

$P_{B_2}\left ( A \right )=p_2\cdot p_3=0.3\cdot 0.5=0.15$ .

Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна

$P_A\left ( B_1 \right )=\frac{P\left ( B_1 \right )\cdot P_{B_1}\left ( A \right )}{P\left ( B_1 \right )P_{B_1}\left ( A \right )+P\left ( B_2 \right )P_{B_2}\left ( A \right )}=$

$=\frac{0.4\cdot 0.5}{0.4\cdot 0.5+0.6\cdot 0.15}=\frac{20}{29}$

Онлайн сервис: решение задач по теории вероятности