Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела -- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Для ответа на первый вопрос нужно найти abc. Если $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}\ne0}$ , то по   векторы a,b,c -- некомпланарные и, следовательно, образуют базис в трехмерном пространстве.

Для нахождения координат напишем разложение вектора d по базису a,b,c с буквенными коэффициентами: $ {{\bf d}={\lambda}{\bf a}+\mu{\bf b}+\nu{\bf c}}$ .  Получим три соотношения для координат

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{rrrrrrr} {\lambda}{\alpha}_1&+&\mu{\beta}_1... ...da}{\alpha}_3&+&\mu{\beta}_3&+&\nu{\gamma}_3&=&{\delta}_3. \end{array}\right .$
Из этой системы трех линейных уравнений находим три неизвестных $ {\lambda},\mu,\nu$ , которые и служат координатами вектора d в базисе a,b,c.