Векторное произведение что это

 Примеры задач, калькулятор, который находит векторное произведение, а также изображает результат графически.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла  φ между ними.
• вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
• вектор  c направлен так, что тройка векторов a,b,c является правой.

   
Обозначение:

Поясним, что значит: тройка векторов a,b,c является правой.
В зависимости от направления вектора c тройка a,b,c  может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора a к b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов a,b,c  называется правой, в противном случае – левой, смотрим рисунок.

Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора, второй строкой координаты второго вектора и третьей строкой координаты третьего вектора. Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:

• Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
• Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.

Как найти векторное произведение

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами

то их векторное произведение находим по формуле

Пример 1. Даны векторы  a=(-2,3,6) и  b=(1,3,2). Найти координаты векторного произведения [a,b]. Изобразить графически.

Решение. По формуле векторного произведения, получаем.

Выполнить векторное произведение можно с помощью калькулятора.

Геометрические свойства векторного произведения

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
• Модуль векторного произведения |[a,b]| равняется площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. Рисунок )