Как пользоваться
Примеры задач, калькулятор, который находит векторное произведение, а также изображает результат графически.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
- длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними.
- вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
- вектор c направлен так, что тройка векторов a,b,c является правой.
Обозначение:
Поясним, что значит: тройка векторов a,b,c является правой.
В зависимости от направления вектора c тройка a,b,c может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора a к b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов a,b,c называется правой, в противном случае – левой, смотрим рисунок.
Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора, второй строкой координаты второго вектора и третьей строкой координаты третьего вектора. Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:
- Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
- Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
- Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.
Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами
то их векторное произведение находим по формуле
Пример 1. Даны векторы a=(-2,3,6) и b=(1,3,2). Найти координаты векторного произведения [a,b]. Изобразить графически.
Решение. По формуле векторного произведения, получаем.
Выполнить векторное произведение можно с помощью калькулятора.
Геометрические свойства векторного произведения
- Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
- Модуль векторного произведения |[a,b]| равняется площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. Рисунок )
