Правила логики

Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

Правило 1.  Если посылки $F_1$ и $F_2$ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1 ; F_2}{(F_1\&F_2)}$$

Эта запись при истинности посылок $F_1$ и $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5 (см. аксиомы логики);

Правило 2. Если $(F_1\&F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются подформулы $F_1$ и $F_2$, т.е.

$$\frac{(F_1\&F_2)}{F_1} \: и \: \frac{(F_1\&F_2)}{F_2}$$

Эта запись при истинности $(F_1\&F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ и $F_2$; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

Правило 3. Если $F_1$ имеет значение “и”, а $(F_1\&F_2)$ – “л”, то ложной является подформулы $F_2$, т.е.

$$\frac{F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2)}{ \left\rceil\right. \!\!F_2}$$

Эта запись при ложности $(F_1\&F_2)$ и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

Правило 4. Если истинна хотя бы одна посылка $F_1$ или $F_2$, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1}{ (F_1\vee F_2)} \: или \: \frac{F_2}{ (F_1\vee F_2)}$$

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы $F_1$ или $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

Правило 5.  Если $(F_1\vee F_2)$ имеет значение “и” и одна из подформул $F_1$ или $F_2$ имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы $F_2$ или $F_1$, т.е.

$$\frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_2} \: или \: \frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_2 }{ (F_1}$$

Эта запись при истинности $(F_1\vee F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ или $F_2$;

Правило 6. Если подформула $F_2$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_1$, т.е

$$\frac{F_2}{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_1$ (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

Правило 7.  Если подформула $F_1$ имеет значение “л”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_2$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при ложном значении $F_1$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_2$ (“ из ложного что угодно”);

Правило 8. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{ (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это - закон контрапозиции;

Правило 9. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)}  $$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А11.

Правило 10. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

Правило 11. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_3)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) }{(F_1\rightarrow F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ предусматривает возможность формирования импликации $(F_1\rightarrow F_3)$ (закон силлогизма); это правило тождественно аксиоме А2;

Правило 12. Если формулы $F_1$ и $(F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $F_2$, т.е

$$\frac{F_1; (F_1\rightarrow F_2)  }{ F_2}$$  

Эта запись при истинном значении посылки $F_1$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $F_2$;

Правило 13. Если формулы $\left\rceil\right. \!\!F_2 и (F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $\left\rceil\right. \!\!F_1$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2)  }{ \left\rceil\right. \!\!F_1}$$

Эта запись при истинном значении посылки $\left\rceil\right. \!\!F_2$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Правило 14. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$, т.е

$$\frac{( F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1)  }{ (F_1\leftrightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ позволяет ввести логическую связку эквиваленции и определить значение формулы $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Правило 15. Если формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_1\rightarrow F_2) } \: и \: \frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_2\rightarrow F_1) }$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\leftrightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$.