Критерии согласия

Для проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому (гипотезы) можно наложить на гистограмму теоретическую кривую (рис. 6).

Рис. 6. Гистограмма и теоретическая плотность распределения

При этом неизбежно обнаружатся расхождения, либо случайные, связанные с ограниченным объемом наблюдений, либо свидетельствующие о неправильном подборе выравнивающей функции (гипотезы). Для ответа на этот вопрос используют так называемые «критерии согласия». Для этого вводится случайная величина U, характеризующая расхождение эмпирического и теоретического распределений в предположении истинности теоретического распределения. Мера расхождения U выбирается таким образом, чтобы функция ее распределения не зависела от вида выравниваемого (эмпирического) распределения и достаточно быстро сходилась по числу наблюдений n к предельной функции . Затем определяется фактическая степень расхождения u и оценивается вероятность  Малая величина  говорит о том, что полученное расхождение u в силу чисто случайных причин маловероятно, и теоретическое распределение плохо согласуется с эмпирическим. Однако, большие вероятности не могут считаться исчерпывающим доказательством истинности теоретического закона распределения и свидетельствуют лишь об отсутствии оснований его отвергнуть.

Иногда поступают иначе: заранее рассчитывают меру расхождения , которая может быть превышена с указанной малой вероятностью, и при  рассматриваемое теоретическое распределение отвергают.

Существует множество критериев согласия, среди которых наиболее употребительными являются критерий Пирсона и критерий Колмогорова-Смирнова.

В критерии согласия  Пирсона мерой расхождения теоретического и эмпирического распределений является взвешенная сумма квадратов отклонений

              (27)

где k – число интервалов разбиения значений случайной величины, – количество наблюдений, попавшее в  i-й  интервал, – теоретическая вероятность появления значения из i-го интервала, n – общее число наблюдений.

В практических задачах рекомендуется иметь в каждом интервале разбиения не менее 5-10 наблюдений [3].

Обозначим через t число независимых связей, наложенных на вероятности . Их общее число равно количеству характеристик теоретического распределения, подбираемых по опытным данным, плюс единица (условие нормировки ). Таким образом, схема применения критерия к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему:

1) Определяется мера расхожденияпо формуле (27).
2) Определяется число степеней свободы r = k – t.
3) По r ис помощью специальной таблицы [3] определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение с r степенями свободы, превзойдет данное значение . Если эта вероятность весьма мала, гипотеза (теоретическая кривая) отбрасывается как неправдоподобная. Если же эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным.

Онлайн сервис:  решение задач по статистике