Как определить доверительный интервал для математического ожидания - 26 Декабря 2012 - Примеры решений задач

Главная » 2012 » Декабрь » 26 » Как определить доверительный интервал для математического ожидания

13:59

Как определить доверительный интервал для математического ожидания

Пример 1. Определить доверительный интервал для оценки с надежностью $\gamma =0,95$ неизвестного математического ожидания

нормально распределенного признака

генеральной совокупности, если известно выборочное среднее $\bar{x}_B=14$ , объем выборки $n=25$ и генеральное среднее квадратическое отклонение $\sigma =5$

Задания 1,2

х_k -17,5 -12,5 -7,5 -2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
n_k 7 11 15 24 49 41 26 17 7 3

задание 1:
По заданной выборке найти выборочное среднее m, выборочную дисперсию s² ,исправленую выборочную дисперсию σ² .

Задание 2:
Считая, что исследуемый качественный признак является непрерывной нормально распределенной величиной с неизвестными параметрами m и σ
а)составить функцию плотности вероятности теоретического распределения генеральной совокупности на основе найденных параметров выборки.
б)найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m с надежностью γ=0,95

Решение.
Задание 1.
Найдём объём выборки

$N=\sum_{k=1}^{10}n_k=200$

Выборочное среднее m

$m=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{10}x_k=4,3$

Выборочная дисперсия

$s^2=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{10}\left (x_k-m \right )^2n_k=94,26$

Исправленная выборочная дисперсия

$\sigma ^2=\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{10}\left (x_k-m \right )^2n_k=94,73$

Задание 2. а) Из предыдущего задания берём значения параметров m = 4.3

$\sigma =\sqrt{94,73}=9,73$

Поэтому плотность распределения имеет вид

$f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{\left ( x-m \right )^2}{2\sigma ^2 }}$

Сюда можно подставить числовые значения параметров.

б) Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а используют случайную величину $T=\sqrt{n}\frac{m-a}{\sigma }$

которая подчиняется закону распределения Стьюдента с N-1 степенью свободы. Следует отметить, что при больших значениях N (как в нашем случае) этот закон можно заменить нормальным законом. Задавшись доверительной вероятностью γ=0,95, найдём значение t, при котором выполнено неравенство

$P\left ( \left | T \right | <t\right )=\gamma$

Значение t найдём, используя таблицу распределения Стьюдента (или нормального закона).Получим t = 1.960. Поэтому

$\left | m-a \right |=1,96\frac{\sigma }{\sqrt{N}}=1,349$

Отсюда выводим доверительный интервал для математического ожидания а С вероятностью 0.95 справедливо $a\epsilon \left ( 2,9;5,6 \right )$

Онлайн сервис решения задач по математической статистике

Категория: Математическая статистика | Просмотров: 23938 | Добавил: Admin | Теги: доверительный интервал, нормальное распределение, таблица Стюдента, математическое ожидание | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0