Как определить доверительный интервал для математического ожидания

Пример 1. Определить доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если…

Учебный материал

По теме

Пример 1. Определить доверительный интервал для оценки с надежностью $\gamma =0,95$ неизвестного математического ожидания

нормально распределенного признака

генеральной совокупности, если известно выборочное среднее $\bar{x}_B=14$ , объем выборки $n=25$ и генеральное среднее квадратическое отклонение $\sigma =5$

Задания 1,2

х_k -17,5 -12,5 -7,5 -2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
n_k 7 11 15 24 49 41 26 17 7 3

задание 1:
По заданной выборке найти выборочное среднее m, выборочную дисперсию s² ,исправленую выборочную дисперсию σ² .

Задание 2:
Считая, что исследуемый качественный признак является непрерывной нормально распределенной величиной с неизвестными параметрами m и σ
а)составить функцию плотности вероятности теоретического распределения генеральной совокупности на основе найденных параметров выборки.
б)найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m с надежностью γ=0,95

Решение.
Задание 1.
Найдём объём выборки

$N=\sum_{k=1}^{10}n_k=200$

Выборочное среднее m

$m=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{10}x_k=4,3$

Выборочная дисперсия

$s^2=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{10}\left (x_k-m \right )^2n_k=94,26$

Исправленная выборочная дисперсия

$\sigma ^2=\frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^{10}\left (x_k-m \right )^2n_k=94,73$

Задание 2. а) Из предыдущего задания берём значения параметров m = 4.3

$\sigma =\sqrt{94,73}=9,73$

Поэтому плотность распределения имеет вид

$f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{\left ( x-m \right )^2}{2\sigma ^2 }}$

Сюда можно подставить числовые значения параметров.

б) Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а используют случайную величину $T=\sqrt{n}\frac{m-a}{\sigma }$

которая подчиняется закону распределения Стьюдента с N-1 степенью свободы. Следует отметить, что при больших значениях N (как в нашем случае) этот закон можно заменить нормальным законом. Задавшись доверительной вероятностью γ=0,95, найдём значение t, при котором выполнено неравенство

$P\left ( \left | T \right | <t\right )=\gamma$

Значение t найдём, используя таблицу распределения Стьюдента (или нормального закона).Получим t = 1.960. Поэтому

$\left | m-a \right |=1,96\frac{\sigma }{\sqrt{N}}=1,349$

Отсюда выводим доверительный интервал для математического ожидания а С вероятностью 0.95 справедливо $a\epsilon \left ( 2,9;5,6 \right )$

Онлайн сервис решения задач по математической статистике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

ИИ-помощник для учебы поможет объяснить тему, разобрать задачу, проверить ход решения или собрать понятный план работы. Можно начать прямо здесь.

Объясняет по шагамРаботает 24/77 дней PRO в подарок

Нейросеть для учебы StudentSOS ↗

Как определить доверительный интервал для математического ожидания

Нужно решить свой вариант?

По теме

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

Как определить доверительный интервал для математического ожидания

Нужно решить свой вариант?

По теме

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Теория вероятности

Сколькими способами можно попасть из точки

Теория вероятности | Решение задач

Теория вероятности | Решение задач

Теория вероятности | Решение задач

Теория вероятности | Решение задач

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS