В экономической практике нередко приходится сталкиваться с ситуациями, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином «природа» всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решения.

     Примеры игры с природой: определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного уровня спроса для ее реализации или формирование пакета ценных бумаг в расчете на более высокие дивиденды.
      В играх с природой степень неопределенности возрастает приприня тии решения сознательным игроком, поскольку если в стратегических играх каждый из участников ожидает наихудшего для себя результата от действий партнера, то природа может принимать такие ответные действия, которые ей совсем невыгодны, а выгодны сознательному игроку. Поэтому можно сказать, что природа коварна, но не злонамеренна, она не стремится использовать в своих интересах ошибки соперника или информацию о его стратегии.

        Пример 1. Для отопления городка «Теплое лето» используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом 1 т угля стоит 6500 руб., в мягкую зиму – 7000 руб., в обычную – 8000 руб., а в холодную – 9000 руб. Расход угля за отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму требуется 6000 т, на обычную – 7000 т, а в холодную – 8000 т. Для подготовки к отопительному сезону мэр городка планирует приобрести некоторое количество угля летом, а в случае необходимости, недостающую часть угля можно будет приобрести и зимой. При этом продать излишки угля возможности не будет. С каким предложением должен выступить мер городка "Тепло летом" перед городским советом, чтобы экономия городского бюджета была наибольшей?

      Решение.
       Мэр городка имеет возможность приобрести летом от 6000 т до 8000 т угля. В зависимости от типа зимы затраты (в млн. руб.) на приобре тение угля представим в виде таблицы 1.

Таблица 1

      Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим

$$\alpha = \max_{1\leqslant i\leqslant 3}\alpha_{i}=-406$$

$$\beta = \min_{1\leq j\leq 3}= -406$$

Значит, игра имеет седловую точку, а чистая стратегия мэра города состоит в покупке 6000 т угля летом, при этом в бюджете го родка на отопление требуется выделить 406 млн. руб.
         Замечание. Так как игра из примера 1 имеет седловую точку, то ее платежная матрица может быть упрощена. Однако при упрощении матрицы нельзя отбрасывать доминируемые стратегии природы, так как она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно это игроку или нет.

         Пример 2.. Фирма «Напитки покрепче» продает на улицах Смо-
ленска квас и горячий чай. Данные о себестоимости, отпускных ценах и
объемах реализации приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Определите ежедневный объем производства кваса и чая, обеспечивающий предприятию наибольший доход.
     Решение
     Составим платежную матрицу игры, учитывая, что менеджер компа нии «Напитки покрепче» имеет возможность воспользоваться стратегиями:«6000 ед. кваса и 1000 ед. чая» и «1200 ед. кваса и 4000 ед. чая», а природа реализует либо теплую, либо холодную погоду. Получим таблицу 3.

Таблица 3.

        Нижняя и верхняя цены игры равны $\alpha = -3200$ и $\beta = 16800$ соответственно.

        Так как природа может реализовать любое свое состояние, то найдем стратегию менеджера предприятия. Составим математическую модель задачи.Увеличим все элементы платежной матрицы на 16200, тогда если $p= (p_1\cdot p_2)$ - смешанная стратегия менеджера, то требуется найти неотрицательные значения переменных $p_1, p_2$ и $\nu$ удовлетворяющих ситеме ограничений

$$\left\{\begin{matrix}
43200p_1 &  &\geq \nu  \\
13000p_1 &+33000p_2  &\geq \nu  \\
p_1 & +p2 & = 1
\end{matrix}\right.$$

и обращающих в максимум функцию

$$\mathbb{Z}= \nu$$

        Введем неотрицательные фиктивные переменные $p_3 и p_4$, тогда система ограничений прмет вид:

$$\left\{\begin{matrix}
43200p_1 &  &-p_3  &  &-\nu = 0 \\
13000p_1 &+33000p_2  &  &-p_4  &-\nu = 0 \\
p_1 &+p_2  &  &  &= 1
\end{matrix}\right.$$

Решив задачу симплекс-методом, получим

$$\left\{\begin{matrix} p_1= \frac{25}{79} &+\frac{1}{63200}p_3 &-\frac{1}{63200}p_4, \\ p_2=\frac{54}{79} &-\frac{1}{63200}p_3 &+\frac{1}{63200}p_4, \\ \nu = \frac{1782000}{79} &-\frac{165}{316}p_3 &-\frac{151}{316}p_4, \end{matrix}\right.$$ $$\mathbb{Z}= \frac{1782000}{79}-\frac{165}{316}p_3-\frac{154}{316}p_4,$$

      Таким образом, в среднем ежедневно целесообразно призводить $6000p_1+1200p_2=2719$  ед.кваса и $1000p_1+4000p_2=3051$ ед. чая. При этом, независимо от погоды, средний доход компании составит 6357 руб.