Вычисление объема двойным интегрированием

3адание №1. Двойным интегрированием вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

 Параболоидом вращения z=x²+y²  и плоскостями z = 0, y = 1, y = 2x, y = 6-x.

Решение.

1) Выполним схематический рисунок тела:

2) Выполним рисунок области интегрирования D:

3) Находим координаты точку пересечения прямых y=2x и y=6-x:

 2x=6-x, 3x=6, x=2, y=4.

4) Находим интервалы интегрирования.

Как видно из рисунков, в области интегрирования D при 1≤y≤4   значения x изменяются от  y/2  до 6-y.

Сверху тело ограничено параболоидом вращения z=x²+y² 

5) Следовательно, объем данного тела равен