Второй замечательный предел

Следствия второго замечательного предела Рекомендуем ознакомиться и запомнить все шесть следствий второго замечательного предела. В дальнейшем данные следствия будут применяться…

Учебный материал

По теме

${\color{Blue} \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x =e}$

Следствия второго замечательного предела

Рекомендуем ознакомиться и запомнить все шесть следствий второго замечательного предела. В дальнейшем данные следствия будут применяться для вычисления пределов.

Следствие 1. Найти предел

${\color{Blue} \lim_{x\rightarrow 0}\left ( 1+x \right )^\frac{1}{x}=e}$

Доказательство:

Следствие 2.

${\color{Blue} \lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+x)}{x}=1 }$

Доказательство:

$\lim_{x\to\ 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|= \lim_{x\to\ 0} \left( \frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_{x\to\ 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1$

Следствие 3.

${\color{Blue} \lim_{x\to\ 0} \frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}}$

Доказательство:

$\lim_{x\to\ 0} \frac{\log_a (1+x)}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{ x \ln a}=\frac{1}{\ln a}\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{ x}=\frac{1}{\ln a}$

Следствие 4.

${\color{Blue} \lim_{x\to\ 0} \frac{e^x-1}{x}=1 }$

$\lim_{x\to\ 0} \frac{e^x-1}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\left | \begin{aligned} & t=e^x-1;\; t\to 0\\ & x=\ln(1+t)\end {aligned} \right| =\lim_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}}=1$

Следствие 5.

${\color{Blue} \lim_{x\to\ 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a}$

Доказательство:

$\lim_{x\to\ 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\cdot \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x \ln a}=\ln a \cdot 1=\ln a$

Следствие 6.

${\color{Blue} \lim_{x\to\ 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}= \alpha. }$

Доказательство:

$\lim_{x\to\ 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}= \left| \frac{0}{0} \right|= \lim_{x\to\ 0}\frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{x}=\\ =\lim_{x\to\ 0}\left( \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)}\cdot \frac{\alpha\ln(1+x)}{x} \right)=\\ =\alpha\lim_{x\to\ 0} \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)}\cdot \lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha.$

Пример 1. Вычислить предел

$\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+7x)}{3^{2x}-1}$

Решение. Применяем следствие (2) и (5):

$\lim_{x\to\ 0}\frac{\ln(1+7x)}{3^{2x}-1}=\left| \frac{0}{0} \right|=\lim_{x\to\ 0}\frac{\frac{\ln(1+7x)}{7x}\cdot 7x}{\frac{3^{2x}-1}{2x}\cdot 2x}=\\= \frac{7}{2}\cdot\lim_{x\to\ 0}\frac{\frac{\ln(1+7x)}{7x}}{\frac{3^{2x}-1}{2x}}=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{\ln 3}=\frac{7}{2\ln 3}$

Пример 2. Вычислить предел

$\lim_{x\to\ 0}\frac{1-\cos^\alpha 2x}{x^2}$

Решение. Применяем тригонометрическую формулу (3.2) и следствие (5):

$\lim_{x\to\ 0}\frac{1-\cos^\alpha 2x}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=-\lim_{x\to\ 0}\frac{(1+\cos 2x-1)^\alpha-1}{x^2}=\\= -\lim_{x\to\ 0}\left( \frac{\bigl(1+(\cos 2x-1)\bigr)^\alpha-1}{\cos 2x-1}\cdot\frac{\cos 2x-1}{x^2} \right)=\\ =-\lim_{x\to\ 0}\left( \frac{\bigl(1+(\cos 2x-1)\bigr)^\alpha-1}{\cos 2x-1}\cdot\frac{-2\sin^2x}{x^2} \right)=\\ =2\cdot\lim_{x\to\ 0}\left( \frac{\bigl(1+(\cos 2x-1)\bigr)^\alpha-1}{\cos 2x-1}\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \right)=2\cdot \alpha\cdot 1^2=2\alpha$

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

ИИ-помощник для учебы поможет объяснить тему, разобрать задачу, проверить ход решения или собрать понятный план работы. Можно начать прямо здесь.

Объясняет по шагамРаботает 24/77 дней PRO в подарок

Нейросеть для учебы StudentSOS ↗

Второй замечательный предел

Нужно решить свой вариант?

По теме

Следствия второго замечательного предела

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

Второй замечательный предел

Нужно решить свой вариант?

По теме

Следствия второго замечательного предела

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Решение пределов числовых последовательностей

Предел функции lim

Доказать, что функция

Вычислить предел | Решение задач

Сколькими способами они могут распределить

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя - решение задач - Решение задач по математике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS