Исследовать на выпуклость функции двух переменных

Теорема (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма от переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: (Для того, чтобы квадратичная форма от переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: (знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса).).


Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно
определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной
(неопределенной) – в зависимости от знаков коэффициентов в её
каноническом виде. Если имеет нулевой угловой минор или один из угловых
миноров четного порядка отрицателен, то эта квадратичная форма не
является ни положительно, ни отрицательно определенной. То же можно
утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с
разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма
знакопеременная.

Критерий Сильвестра и его следствия
показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами
её матрицы. Поэтому термины, введенные определением 33, можно перенести
на симметричные матрицы. В частности, симметрическую матрицу А называют
положительно (отрицательно) определенной и пишут , если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма.

Сформулируем критерий выпуклости и строгой выпуклости функции двух переменных на множестве.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка на открытом выпуклом множестве . Рассмотрим точку . Обозначим элементы матрицы Гессе следующим образом:

1. 
   Для того, чтобы функция была выпукла вниз на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для всех точек
   
2. 
   Для того, чтобы функция была выпукла вверх на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для всех точек принадлежащих множеству
   
3. 
   Для того, чтобы функция была строго выпукла вниз на множестве , достаточно чтобы для всех точек принадлежащих множеству
   
4. 
   Для того, чтобы функция была строго выпукла вверх на множестве , достаточно чтобы для всех точек принадлежащих множеству
   

Если ни одно из четырех условий (43 – 46) не выполняется для всех точек, принадлежащих множеству то функция не обладает свойством выпуклости и строгой выпуклости на .

Пример 32. Рассмотрим функцию двух переменных . Проверим, что строго выпукла вниз на . Для этого найдем: .

для всех точек Значит, функция строго выпукла вниз на .