Решим задачи, контрольные, курсовые... - Показать, что векторы a, b, c образуют базис.

Разбор задачи

Условие и материал

Смешанное произведение

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства скалярного произведения ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком " ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком " ", если -- левую.

Доказательство. Пусть ${\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ .
$\vert{\bf d}\vert$ равен площади $ S$

параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).

Рис.10.26.Правая тройка

Рис.10.27.Левая тройка

По свойству 7 скалярного произведения

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$

(10.7)

Пусть

-- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то ${ Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то ${ Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как ${S\cdot h=V}$ -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$

(10.8)

Предложение 10.28 Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов, векторного произведения , в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) ${\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) ${\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

Доказательство Соотношения $({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и ${({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}= {\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на ${\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{... ...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}= {\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.

Предложение 10.29 Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a,b,c, равен $\frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .

Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).

Рис.10.28.Объем пирамиды

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле ${V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды -- ${V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как ${S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то ${V_{пир}=\frac 16 V}$ .

получим, что $V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а ${V_{пир}=\frac 16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы векторы ${{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , ${{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , ${{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a... ...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$

(10.9)

Доказательство. находим координаты вектора ${\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2... ...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$

находим скалярное произведение вектора a на вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1 \left\vert\begin{... ...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$

Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\ {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула (10.9) доказана.

Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

Пример 10.3 Является ли система векторов ${\bf a}=(1;1;-2)$ , ${\bf b}=(4;-1;3)$ , ${{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Находим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&... ...}\right\vert- 2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$

По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.

Решим задачи, контрольные, курсовые... - Показать, что векторы a, b, c образуют базис.

Нужно решить свой вариант?

Условие и материал

Смешанное произведение

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

Решим задачи, контрольные, курсовые... - Показать, что векторы a, b, c образуют базис.

Нужно решить свой вариант?

Условие и материал

Смешанное произведение

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Решение пределов числовых последовательностей

Предел функции lim

Доказать, что функция

Вычислить предел | Решение задач

Сколькими способами они могут распределить

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя - решение задач - Решение задач по математике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS