Условие и материал
Пусть имеется три элемента (n = 3): a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента (k = 2): ab, ac, bc, aa, bb, cc (порядок неважен!)
Общее число сочетаний с повторениями определяется по формуле
Пример 1. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k = 12 (k =8). Следовательно,
.
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Задачи.
1. Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых предметов между тремя лицами?
2. В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
Пример 3. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,
Пример 4. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,
, 
.
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Пример 5. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку 
, 
, 
, 
, 
, то существует 
чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Упражнения
1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?
Ответ: 
.
2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?
Ответ: 
.
3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
Ответ: 
.
4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
Ответ: 
.