Сходимость рядов

Учебный материал

По теме

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
1. Дайте определение сходящегося и расходящегося рядов.
2. Сформулируйте необходимый признак сходимости рядов.
3. Сформулируйте признаки Даламбера, Коши и интегральный признак

сходимости рядов положительными членами. Приведите примеры.
4. Дайте определение признака Лейбница сходимости знакочередующихся

рядов.

Приведите пример применения этого признака.
5. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов. Выведите

формулу радиуса сходимости ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность

его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его

частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е.

не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся

и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

1. Основные понятия

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Тогда выражение

(1)
называется числовым рядом. Здесь

– общий член ряда.
Примеры:
1.

.
2.

.
3.

.
Определение. Суммы вида

называются частичными суммами ряда (1).
Определение. Если последовательность

частичных сумм имеет

предел,торяд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.

2. Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то

. Обратное

утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет

расходиться.
     Достаточные признаки сходимости
     1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами

; (2)

. (3)
Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых

выполняется

. Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость

ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
2. Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами

и существует

. Тогда при

ряд сходится, а при

расходится, а

при

вопрос остается открытым.

3. Знакопеременные ряды

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется

знакопеременным.
Знакочередующимся называется ряд вида

, где

.
Ряды вида

также называются

знакочередующимися.
     Признак абсолютной сходимости
     Знакопеременный ряд

   (4)
     сходится, если сходится ряд

(5)
Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится,

а ряд(5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся.

При этом сходимость ряда (4)можно в ряде случаев установить без исследования

ряда (5).
Признак сходимости Лейбница
Пусть имеется знакочередующийся ряд

.
Если одновременно выполняются следующие два условия:
1)

,
2)

, то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена:

4. Степенные ряды

Определение. Ряд вида

называется

степенным рядом. Здесь постоянные величины a₁, a₂, …, a_k_,… – коэффициенты ряда,

a₀ – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных

рядов вида

(6)
Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда

имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого

ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо

сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он

находится по формуле:

. (7)
Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении

его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала

сходимости (при

).
Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид:

              (8)
     Наиболее употребительны разложения следующих функций:

;

.
Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену

, найти область сходимости ряда

если

.
Решение. Первые три члена ряда будут:

Имеем

.
Определяем радиус сходимости:

.
Интервал сходимости имеет вид:

.
Пусть

. Получаем числовой ряд:

.
Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

; (1)

. (2)
Оба условия выполняются, следовательно ряд при

сходится.
Пусть

. Имеем числовой ряд:

.
Сравнивая с расходящимся гармоническим рядом

видим,что, начиная с n=2, выполняется- неравенство

поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда

.
Пример. Вычислить

с точностью до 0,0001, используя разложение

в ряд Маклорена.
Решение.
Преобразуем

Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине,

поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.
Следовательно,

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Что называется суммой сходящегося числового ряда?
Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное
число начальных членов ряда?
Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен
нулю?
Сформулируйте теорему сравнения рядов.
В чем состоит признак Даламбера сходимости рядов?
Какие числовые знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и
какие условно сходящимися? Приведите примеры.
В чем состоит признак Лейбница сходимости рядов?
Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечные
радиусы сходимости.
Разложите в ряд Маклорена функции е^ах, sinbx, cosbx, ln(1+x) и найдите область
сходимости полученных степенных рядов.
Как оценить погрешность при приближенном суммировании знакочередующегося
числового ряда?
Как оценить погрешность при приближенном суммировании знакопостоянного
числового ряда?
Можно ли находить приближенные значения функций y=f(x₀), используя их
разложение в ряд Маклорена, если х₀ не входит в область сходимости ряда?

Ответы на вопросы, а также примеры решений, калькулятор для определения сходимости рядов в категории: сходимость рядов.

Онлайн сервис: решение контрольных работ в авторском исполнении без посредников.

Сходимость рядов

Нужно решить свой вариант?

По теме

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS

Сходимость рядов

Нужно решить свой вариант?

По теме

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Решение пределов числовых последовательностей

Предел функции lim

Доказать, что функция

Вычислить предел | Решение задач

Сколькими способами они могут распределить

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя - решение задач - Решение задач по математике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS