Разбор задачи
Условие и материал
Четыре исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго, третьего и четвертого исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15, 0,2 и 0,25. Найти вероятность того, что при однократном измерении будет допущена ошибка (допустят ошибку): а)только два исследователя, б)не менее трех исследователей, в)менее четырех исследователей; г)только первым и третьим исследователями.
Решение: Обозначим события:
A - первый исследователь допустит ошибку, вероятность р(А)=0,1
В - второй исследователь допустит ошибку, вероятность р(В)=0,15
С - третий исследователь допустит ошибку, вероятность р(С)=0,2
D - четвертый исследователь допустит ошибку, вероятность р(D)=0,25
Противоположные события
- первый исследователь не допустит ошибку, вероятность =1-0,1=0,9 "p\left ( \bar{A} \right )=1-0,1=0,9")
- второй исследователь не допустит ошибку, вероятность =1-0,15=0,85 "p\left (\bar{B} \right )=1-0,15=0,85")
- третий исследователь не допустит ошибку, вероятность =1-0,2=0,8 "p\left (\bar{C} \right )=1-0,2=0,8")
- четвертый исследователь не допустит ошибку, вероятность =1-0,25=0,75 "p\left (\bar{D} \right )=1-0,25=0,75")
а) Событие, что только два исследователя допустят ошибку:
Вероятность данного события
= "p\left (AB\bar{C}\bar{D}+A\bar{B}C\bar{D}+\bar{A}BC\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}D+\bar{A}\bar{B}CD+\bar{A}B\bar{C}D \right )=")
+p%5Cleft%20(A%5Cbar%7BB%7DC%5Cbar%7BD%7D%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(%5Cbar%7BA%7DBC%5Cbar%7BD%7D%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(A%5Cbar%7BB%7D%5Cbar%7BC%7DD%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(%5Cbar%7BA%7D%5Cbar%7BB%7DCD%20%5Cright%20)++p%5Cleft%20(%5Cbar%7BA%7DB%5Cbar%7BC%7DD%20%5Cright%20)=p%5Cleft%20(%20A%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20B%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BC%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BD%7D%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(%20A%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BB%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20C%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BD%7D%20%5Cright%20)+ "=p\left (AB\bar{C}\bar{D} \right )+p\left (A\bar{B}C\bar{D} \right )+p\left (\bar{A}BC\bar{D} \right )+p\left (A\bar{B}\bar{C}D \right )+p\left (\bar{A}\bar{B}CD \right )++p\left (\bar{A}B\bar{C}D \right )=p\left ( A \right )p\left ( B \right )p\left ( \bar{C} \right )p\left ( \bar{D} \right )+p\left ( A \right )p\left ( \bar{B} \right )p\left ( C \right )p\left ( \bar{D} \right )+")
p%5Cleft%20(%20B%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20C%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BD%7D%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(%20A%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BB%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BC%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20D%20%5Cright%20)+p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BA%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BB%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20C%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20D%20%5Cright%20)+ "+p\left ( \bar{A} \right )p\left ( B \right )p\left ( C \right )p\left ( \bar{D} \right )+p\left ( A \right )p\left ( \bar{B} \right )p\left ( \bar{C} \right )p\left ( D \right )+p\left ( \bar{A} \right )p\left ( \bar{B} \right )p\left ( C \right )p\left ( D \right )+")
p%5Cleft%20(%20B%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20%5Cbar%7BC%7D%20%5Cright%20)p%5Cleft%20(%20D%20%5Cright%20)= "+p\left ( \bar{A} \right )p\left ( B \right )p\left ( \bar{C} \right )p\left ( D \right )=")
Решение: Обозначим события:
A - первый исследователь допустит ошибку, вероятность р(А)=0,1
В - второй исследователь допустит ошибку, вероятность р(В)=0,15
С - третий исследователь допустит ошибку, вероятность р(С)=0,2
D - четвертый исследователь допустит ошибку, вероятность р(D)=0,25
Противоположные события
а) Событие, что только два исследователя допустят ошибку:
Вероятность данного события