Учебный материалМатематический анализ

полная производная

Как найти полную производную сложной функции? Производная сложной функции, примеры. Для того чтобы найти полную производную необходимо уметь находить частные производные. Для…

Ещё по теме Все материалы →

Оценка задания

Нужно решить свой вариант?

Напишите условие, требования и срок — скажем стоимость и когда сможем сделать.

По теме

Как найти полную производную сложной функции?
Производная сложной функции, примеры.

Для того чтобы найти полную производную необходимо уметь находить частные производные.
Для сложной функции двух переменных z=f(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v), частные производные по двум независимым переменным u и v производится по формулам

Для сложной функции трех переменных z=f(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), частные производные по двум независимым переменным u и v производится по формулам

Пример 1. Дана сложная функция

$\omega =2^{\frac{xy}{z}},x=\frac{u}{v},y=\sqrt{u},z=v^2+3v$ .

Вычислить производные

$\frac{\partial \omega }{\partial u}, \frac{\partial \omega }{\partial v}$

Решение.

Если задана дифференцируемая по переменным x₁,x₂,...,x_n функция w=f(x₁,x₂,...,x_i,...x_n) и если функции x₁=x₁(t),x₂=x₂(t), ...,x_n=x_n(t) - дифференцируемые функции переменной t , то функция w является сложной дифференцируемой функцией одной переменной t и ее полная производная по независимой переменной t равна:

$\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \omega }{\partial x_i}\frac{\mathrm{d} x_i}{\mathrm{d} t}$

Иногда функция w явно зависит от t, то есть w=f(t,x₁,x₂,...,x_i,...x_n) в этом случае формула полной производной имеет вид:

$\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \omega }{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \omega }{\partial x_i}\frac{\mathrm{d} x_i}{\mathrm{d} t}$

Здесь следует различать частную производную $\frac{\partial \omega }{\partial t}$ , которая вычисляется в предположении, что x₁,x₂,...,x_n не зависят от переменной t, и полную производную $\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} t}$ , которая учитывает зависимость от t функций x₁=x₁(t),x₂=x₂(t), ...,x_n=x_n(t).

Пример 2. Найти полную производную функции:

Ваше задание

Нужно решить похожую задачу?

Напишите условие или укажите номер варианта. Посмотрим задачу и скажем стоимость и срок.

Оценка задания

Рассчитать стоимость

Выберите вид работы и опишите, что нужно сделать.

полная производная

Нужно решить свой вариант?

По теме

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Решение пределов числовых последовательностей

Предел функции lim

Доказать, что функция

Вычислить предел | Решение задач

Сколькими способами они могут распределить

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя - решение задач - Решение задач по математике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS