Формулировка "парадокса" Монти Холла:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение. Сразу же заметим, данная задача никакого парадокса не содержит. Обычная задача (начальный уровень) на формулу Байеса, которая вытекает из определения условной вероятности.

Формула Байеса

Обозначим через А, событие – вы выиграли авто.

Выдвигаем две гипотезы: H₁– вы не меняете дверь, и H₂ - меняете дверь.

P(H₁)= 1/3 – априорная (априорная – значит до проведения опыта, ведущий  еще не открывал дверь) вероятность гипотезы, что вы меняете дверь.

P(H₂)= 2/3 – априорная вероятность гипотезы, что вы меняете дверь.

P_H1(A) - условная вероятность, что вы угадаете дверь, за которой находится авто, если произошла первая гипотеза H₁

 P_H2(A) - условная вероятность, что вы угадаете дверь, за которой находится авто, если произошла вторая гипотеза H₂

Находим вероятность события А, если произошла гипотеза  H₁  (вероятность того, что вы  выиграли автомобиль, если не меняли дверь):

Находим вероятность события А, если произошла гипотеза H₂ (вероятность того, что вы  выиграли автомобиль, если  меняли дверь):

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор — в этом случае вероятность его выигрыша будет равна ²⁄₃.

 

Статистическая проверка парадокса Монти Холла