Разбор задачи
Условие и материал
Тема: Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:
где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY
ПРИМЕР 1. Найти площадь части Ω сферы x2 + y2 + z2 = a2 , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра x2 + y2 = b2 , b ≤ a
Из симметрии относительно плоскости ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части Ω1 , лежащей
выше плоскости ОХY , и удвоить полученное значение.
РЕШЕНИЕ.
Здесь D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY , т.е. круг
радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY
цилиндр x2 + y2 = b2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.
Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при ε→ 0.
радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY
цилиндр x2 + y2 = b2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.
Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при ε→ 0.
где
− так называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω .
ПРИМЕР 2. Найти площадь поверхности геликоида , заданного
параметрическими уравнениями:
параметрическими уравнениями:
РЕШЕНИЕ.
