Найти область решений и область допустимых решений системы неравенств

Контрольная работа по дисциплине “Методы оптимальных решений”

Задание 1  Найти область решений и область допустимых решений системы неравенств:

$\left\{\begin{matrix}x_1-x_2\leq 1\\ x_1-2x_2\leq 1\\x_1\leq 0.25\end{matrix}\right..$

Решение.

Построим область решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение x₁-x₂ = 1 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 1. Соединяем точку (0;-1) с (1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 1 • 0 - 1 ≤ 0, т.е. x₁-x₂ - 1≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x₁-2x₂ = 1 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = -0.5. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 1. Соединяем точку (0;-0.5) с (1;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 2 • 0 - 1 ≤ 0, т.е. x₁-2x₂ - 1≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x₁ = 0.25.
Эта прямая проходит через точку x₁ = 0.25 параллельно оси OX₂. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 0.25 ≤ 0, т.е. x₁ - 0.25≥ 0 в полуплоскости правее прямой.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Получаем область решений (ОР), треугольник ABC

Область решения (ОР) системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j = 1,n), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР). Следовательно, задача области допустимых значений (ОДР) не имеет.